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fumeur et probabilités !

Posté par yokorem (invité) 20-04-06 à 16:43

Pouvez vous m'aider àrésoudre cet exo


Un fumeur dispose de n allumettes. La probabilite que l'allumette s'éteigne est θ(θ ∈]0,1[). Le fumeur tente d'allumer sa cigarette, chaque essai est independant desautres.1. Quelle est la probabilite qu'il reussisse `a allumer sa cigarette avec ses n allu-mettes?2. S'il allume sa cigarette, il cesse d'allumer des allumettes. Soit X la variablealeatoireegale au nombre d'allumettes utilisees.a) Determiner la loi de probabilite de X.b) Calculer la fonction generatrice des moments de X.c) Deduire E(X).

Merci

Posté par
raymond Correcteurfumeur et probabilités 20-04-06 à 19:46

Bonsoir
As tu réussi la 1ère question ?
Détaille : P(réussite) = P(1 allumette) + P(2 allumettes) + ... + P(n allumettes), avec :
P(k allumettes) = k - 1 échecs et 1 réussite en dernier. Essaye ... à bientôt.
Cordilement RR.

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : fumeur et probabilités ! 20-04-06 à 20:19

Bonjour yokorem;
1)Pour \fbox{i\in\{1,..,n\}} notons \fbox{A_i} l'événement "Le fumeur allume sa cigarette avec sa ième allumette" et \fbox{A} l'événement "Le fumeur allume sa cigarette avec ses n allumettes".
(*)Il est clair que \fbox{A=\Bigcup_{i=1}^{n}A_i} (la réunion étant disjointe par hypothése) on a donc \fbox{P(A)=\Bigsum_{i=1}^{n}P(A_i)}
(*)D'autre part les essais étant indépendants on a \fbox{\forall i\in\{1,..,n\}\\P(A_i)=\theta^{i-1}(1-\theta)} et on conclut alors que 2$\blue\fbox{P(A)=\Bigsum_{i=1}^{n}\theta^{i-1}(1-\theta)=(1-\theta)\frac{1-\theta^n}{1-\theta}=1-\theta^n}.
2)2$\blue\fbox{\forall i\in\{1,..,n-1\}\\P(X=i)=P(A_i)=\theta^{i-1}(1-\theta)\\P(X=n)=\theta^{n-1}(1-\theta)+\theta^n=\theta^{n-1}} (car l'événement "le fumeur utilise ses n allumettes" est la réunion disjointe des deux événements A_n qui est de probabilité \theta^{n-1}(1-\theta) et l'événement "aucune des n allumettes n'allume sa cigarette" qui est de probabilité \theta^n)
3$\blue\fbox{G(x)=\Bigsum_{i=1}^{n}P(X=i)x^i=(\Bigsum_{i=1}^{n-1}\theta^{i-1}(1-\theta)x^i)+\theta^{n-1}x^n=\frac{\theta^nx^n(1-x)+x(1-\theta)}{1-\theta x}}
3$\blue\fbox{E(X)=G'(1)=\frac{1-\theta^n}{1-\theta}=1+\theta+..+\theta^{n-1}} (Sauf erreurs...)


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