Bonjour qd meme

1) pour étudier les variations  de f , il faut calculer sa dérivée et
étudier son signe

calcul de f'

f'(x) = 8x / (x²+1)²

etudions le signe le dénominateur étant toujour positif sur R , le signe de
f dépend du signe de 8x qui est clairement négatif sur R- et positif
sur R+

donc f' est positif sur R + donc croissante sur R+
et f' est négative sur R- donc décroissante sur R-

2) la dérivée s'annule et change de signe en , donc f admet un
extremum en 0 qui vaut -4

3) f inférieure à 0 ??

f(x) <0 équivaut à dire que -4< 0

ce qui est vrai donc f est inférieure à 0 sur R

4) f(x) =1
-4/(x²+1) = -1
4/(x²+1) =1
4= x²+1
x²-3 = 0
(x+racine(3))(x-racine (3)) =0

donc x=racine (3) ou x=-racine(3)


*Vérifier que x³-3x²+x+1=(x-1)[(x-1)²-2 ]  
c'est c'est facile tu développes

f(x)   x-3  

-4/(x²+1) x-3

tu arrives à x^3 -3x²+x+1 >= 0
bizarre c'est l'égalité qu'on donnait juste au dessus
tu as donc la forme factorisée
directe , tu te prends pas la tete tableau de signe et tu regardes les intervalles
ou c'est positif

en ce qui concerne l'interprétation : l'inégalité traduit
la position de f par rapport à la droite : ici on cherche les intervalles
ou la courbe f est en dessous de la droite

Voili voilà
Charly