Niveau énigmes

Gagner avec des jeux de hasard

Posté par
Vassillia 18-10-21 à 13:21

Bonjour à tous, je vous propose de vous intéresser à un résultat surprenant et assez récent (1999)

On démarre avec un capital de 0 et on a 2 possibilités :
Choix A : On gagne 1 avec une probabilité $p=1/2$ et on perd 1 sinon
Choix B :
-Lorsque notre capital est un multiple de $m=3$ , on gagne 1 avec une probabilité $p_m=1/10$ et on perd 1 sinon
-Lorsque notre capital n'est pas un multiple de $m=3$ , on gagne 1 avec une probabilité $p_{\overline{m}}=3/4$ et on perd 1 sinon

Quelques stratégie de jeux où à chacune des n parties, on va utiliser l'une des possibilités :
1) On ne joue que à A
2) On ne joue que à B
3) On joue à pile à face avec une pièce équilibrée pour savoir si on joue à A ou à B
4) On joue la séquence suivante (ABBAB)* en boucle

Le but est de savoir si ces stratégies de jeux sont équilibrées.
Dans chacun des cas précédents, quel est le gain moyen par partie pour des valeurs fixées de n et même lorsque n tend vers l'infini ?

Posté par re : Gagner avec des jeux de hasard 19-10-21 à 01:06

Je suis sure que vous savez faire au moins le cas 1)

Pour la suite, c'est vrai qu'il vaut mieux avoir entendu parler des chaines de Markov mais sinon une simulation fera l'affaire. Je vous promets que vous ne serez pas déçu, le résultat est vraiment étonnant.

Bonne nuit.

Posté par re : Gagner avec des jeux de hasard 20-10-21 à 19:29

Bonjour,
Allez je retente ma chance une dernière fois pour vous motiver à rentrer dans l'exercice : on arrive à faire un jeu gagnant à partir de jeux équilibrés (voir même de jeux perdants mais j'ai simplifié pour les calculs) et il parait que c'est utilisé sur les marchés financiers

Posté par re : Gagner avec des jeux de hasard 21-10-21 à 10:37

Bonjour,

Le simple bon sens pousse à dire que quand on a un capital multiple de 3, il vaut mieux jouer selon A (une chance sur 2 d'augmenter de 1), tandis qu'il vaut mieux jouer selon B quand on a un capital qui n'est pas un multiple de 3 (3 chances sur 4 d'augmenter de 1).
Après, on peut quantifier ...

Posté par re : Gagner avec des jeux de hasard 21-10-21 à 11:24

Bonjour GBZM et merci d'être passé, je me sentais un peu seule avec mon truc.

Je suis évidemment d'accord avec ce que tu viens de dire mais tu n'as pas cette possibilité. Tu dois choisir dès le début comment tu vas enchaîner les parties A ou B sans savoir si tu vas gagner ou perdre donc sans connaitre ton capital à la ième partie.

Par exemple, dans le cas 3) on est gagnant ou perdant ? Sache que je peux changer les probabilités de B pour inverser cette réponse tout en gardant le même gain moyen par partie pour B lorsque n tend vers l'infini. Comment ça se fait ? C'est pas si intuitif et c'est ça que je veux vous montrer, en plus pour le coup ta technique préfèrée va servir.

Posté par re : Gagner avec des jeux de hasard 22-10-21 à 23:57

OK.

La stratégie qui consiste à répéter ABB donne une espérance d gain qui tend vers 0.2036 pour trois coups.
La stratégie qui consiste à répéter ABBAB donne une espérance d gain qui tend vers 0.3784 pour cinq coups.

Posté par re : Gagner avec des jeux de hasard 23-10-21 à 01:13

Bien joué ! Je suis d'accord avec tes valeurs. A priori la séquence (ABBAB)* est la plus pertinente que j'ai trouvé mais tu auras peut-être mieux. En tout cas, je ne sais pas le démontrer.

Pour ta curiosité éventuelle, une explication de pourquoi en jouant à pile ou face soit à A soit à B comme dans le cas 3), on trouve quand même un jeu gagnant alors que A et B sont des jeux équilibrés. Je comprends le principe d'utiliser une ligne de niveau de probabilités convexe mais ça fait tellement tour de magie que j'adore. Tu connaissais ce paradoxe ?