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La conclusion à laquelle j'aboutis est que si était un rationnel (entre parenthèses, qui est égal à la constante d'Euler , d'où le titre), alors les sont des entiers naturels à partir d'un certain rang.

En voici la preuve :

on établit d'abord une relation de récurrence en effectuant une intégration par parties : on intègre la puissance n_ième et on dérive le reste. On aboutit alors à l'égalité suivante :



La première intégrale se reconnait : c'est la fonction Gamma évaluée au point n+1, c'est-à-dire n!

D'où la relation de récurrence :



En calculant de proche en proche, on déduit par récurrence immédiate que l'on peut écrire

où est un entier naturel.

Ainsi, si s'écrivait , avec p et q des entiers naturels, q non nul (on sait que la constante d'Euler est strictement positive), serait un entier naturel pour tout n supérieur à q, car dans ce cas, q divise n!

Maintenant, il y a peut-être une autre propriété de cette suite à laquelle je n'ai pas pensé.

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comment as-tu pensé avant-tout à établir cette relation de récurrence ?

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En fait, c'est assez courant lorsque tu as affaire à des intégrales dépendant d'un entier n. En effet, pour calculer certaines de ces intégrales, l'idée est de ramener le calcul à des intégrales plus simples à calculer. En général, le terme pour n=0 est calculable (ou du moins exprimable en fonction de ce que l'on connait ou de ce que l'on suppose connu) et essayer d'obtenir une relation de récurrence peut s'avérer payant. Bien sûr, ça ne marche pas à tous les coups, mais c'est quand même un réflexe à avoir dans ce genre de situations. J'espère avoir répondu à ta question.

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Il y a effectivement une erreur de signe dans ma première égalité mais, apparemment, je suis retombé sur mes pieds sur la relation de récurrence, qui a l'air d'être correcte.

D'autre part, on a effectivement . C'est une erreur de ma part. D'ailleurs, on aurait pu se rendre compte que l'intégrale correspondante était strictement négative car celle-ci prend tout son poids au voisinage de 0, là où la fonction intégrée est négative.
Bref, ceci étant dit, j'ai trouvé une autre méthode un peu plus directe pour exprimer explicitement l'intégrale proposée pour tout n. C'est l'objet de mon prochain blanké. Si vous ne voulez pas savoir, ne pas lire !!

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Il suffit de remarquer, en posant pour tout x strictement positif :



que l'on a (modulo dans argument de dérivation sous le signe somme) l'égalité suivante :



or en utilisant la formule de dérivation d'un produit fini quelconque de fonctions et en évaluant en 1, on a :



on aboutit alors à la même conclusion (le premier terme étant clairement un entier).
Le fait que ce soit un entier positif à partir d'un certain rang résulte du fait que, avec cette formulation, ça tend vers

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A l'aide d'une intégration par parties, on trouve que :
a_n = n!.a₀ + (k=-1..n)n(n-1)...(n-k)(n-k-1)! (après avoir noté que : (n) = n!)
Ainsi, si a₀ est rationnel a_n est pour n assez grand entier!
Si elhor a posté l'exos, c'est qu'il y a quelque chose de plus subtil ... je vais m'approfondir sur la question, mais pas de suite !