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Niveau Master Maths
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Généralisation la convexité ?

Posté par
Aalex00
21-11-20 à 19:46

Bonjour,

J'aimerais étendre la notion de convexité aux distributions. Je me dis qu'il faut donc trouver une définition qui coïncide avec les distributions régulières. Fixons alors f une fonction localement sommable (sur pour commencer), et par abus je noterai encore f la distribution régulière associée, ie je note :

\forall \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),\quad <f,\phi> = \int_\mathbb{R} f \phi dx

\mathcal{D}(\mathbb{R}) est l'ensemble des fonctions C^\infty à support compact. Si f est C^2 alors f est convexe si et seulement si f'' est positive. Comme premier essai j'essaie alors de poser

\forall \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),\quad <f'', \phi > \,\,\geq 0

Ce qui équivaut par définition de la dérivation au sens des distributions à

\forall \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),\quad 0 \leq\,\, <f, \phi ''> = \int_\mathbb{R} f \phi '' dx

Or \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}) implique \phi '' \in \mathcal{D}(\mathbb{R}). Et réciproquement (?) puisque

\phi(x) = \int_0^x\int_0^t \phi ''(s)ds +\phi(0)dt +\phi(0)

Du coup si cette définition serait valide (et réciproquement impliquerait donc f convexe), on voit que toute fonction convexe serait positive. Ce qui n'est pas le cas. Donc je me dis que la positivité est mal définie au sens des distribution, ie f positive n'équivaut pas (?) à

\forall \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),\quad <f, \phi > \,\,\geq 0

Du coup peut-être essayer de définir la convexité seulement à partir de f' croissante, ou à partir de la définition classique. Mais dans tout les cas on obtient des définitions faisant intervenir des inégalités et je vois pas comment bien définir cela.

Je peut-être (surement ?) raconté quelques âneries. Avez-vous des idées pour définir la convexité au sens des distributions ? Je pense qu'il faudrait commencer par définir la monotonie au sens des distributions (ce qui donnerai une définition de la convexité) mais je vois pas.

Déjà merci d'avoir lu jusqu'ici et merci d'avance de vos réponses.

Posté par
jsvdb
re : Généralisation la convexité ? 21-11-20 à 20:12

Bonjour Aalex00

A priori, je commencerais par une définition simple :

T \in \mathcal D'(\Omega) est convexe si \forall \varphi,\psi \in \mathcal D(\Omega), T(\frac{\varphi+\psi}{2})\leq \frac{T(\varphi)+T(\psi)}{2}

et c'est là que tu t'aperçois qu'en réalité il y a égalité ... parce que T est une application linéaire et que toute application linéaire est convexe.

Posté par
jsvdb
re : Généralisation la convexité ? 21-11-20 à 20:32

Maintenant, je fais remarquer, par rapport à ton exposé, que la dérivée d'une distribution n'est pas du tout définie comme celle des fonctions réelle.

T'(\varphi) n'est pas obtenu à partir de T(\varphi + h) - T(\varphi), ce dernier calcul aboutissant DT(\varphi).h, c'est-à-dire à la différentielle de T.

Or T est linéaire donc on aurait DT(\varphi).h = T(h) ... sous réserve de donner un sens au fait que DT(\varphi) \in \red \mathcal L_c(\mathcal D(\Omega),\R)

Posté par
Aalex00
re : Généralisation la convexité ? 21-11-20 à 21:10

Bonsoir jsvdb,

D'accord merci beaucoup des précisions.

Donc si je comprends toute distribution est convexe (puisque linéaire par définition). Effectivement, mais convexe comme l'objet qu'elle définit. Du coup peut-être on pourrait définir la convexité des distributions (c'est un abus de vocabulaire du coup) telle que pour toute distribution régulière associée à f cela signifierait exactement que f est convexe ?

Pour la monotonie d'une distribution, peut-être se contenter de fonctions test de et à valeurs dans seulement pour éviter de parler de différentielle et avoir juste une dérivée au sens des distributions (qui est une distribution au même titre que la première).

Pour le coup je pense que convexité comme monotonie, une définition qui coïncide pour les distributions régulières et f risque de ne pas signifiée la même chose pour les distributions en général en tant que telles ?

Peut-être que je m'embrouille. Je me demande si c'est bien possible ?

Posté par Profil XZ19re : Généralisation la convexité ? 22-11-20 à 07:24

Bonjour

Citation :
Si f est C^2 alors f est convexe si et seulement si f'' est positive. Comme premier essai j'essaie alors de poser

\forall \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),\quad <f'', \phi > \,\,\geq 0


A mon avis  en commençant comme cela tu ne vas pas aller très loin!  

Posté par
Aalex00
re : Généralisation la convexité ? 22-11-20 à 10:49

Bonjour,

XZ19, oui je me suis rendu compte qu'il y avait un problème :

Aalex00

Du coup si cette définition serait valide (et réciproquement impliquerait donc f convexe), on voit que toute fonction convexe serait positive. Ce qui n'est pas le cas. Donc je me dis que la positivité est mal définie au sens des distributions, ie f positive n'équivaut pas (?) à

\forall \phi \in \mathcal{D}(\mathbb{R}),\quad <f, \phi > \,\,\geq 0


Si tu as une piste je suis preneur.

Posté par Profil XZ19re : Généralisation la convexité ? 22-11-20 à 15:32

Et bien ,  il faut que la fonction test  soit positive.  
Maintenant à ma connaissance  je ne sais pas si la notion de distribution convexe existe...

Posté par
Aalex00
re : Généralisation la convexité ? 22-11-20 à 20:48

D'accord merci XZ19, je vais réfléchir la dessus.

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