Bonsoir,

Je suis nouveaux sur ce forum et je suis totalement bloqué sur une partie de mon DM de maths pour la rentrée, alors je me lance:

Enoncé:

Soit n un entier naturel non nul.
On considère la fonction f_n définie sur ]0;+∞[ par :
                                                                                  f_n (x)=nx+1-1/√x

1)Démontrez que l'équation f_n (x)=0 admet une unique solution sur ]0;+∞[
2)On note u_n la solution de l'équation f_n (x)=0 sur ]0;+∞[
On définit ainsi une suite (u_n ) sur *
       a)Montrez que pour tout entier n un entier non nul, on a : 0<u_n<1
       b)Montrez que f_n (u_n+1 )<0 puis déduisez-en le sens de variation de la suite (u_n )
       c)Montrez que la suite (u_n ) est convergente
       d)En raisonnant par l'absurde, montrez que la suite (u_n ) converge vers 0.


Mes réponses et traces de recherches:

1) Aucun problème pour cette question, après avoir dérivé la fonction et étudié le sens de variation et en utilisant le théorème de la bijection, je démontre bien que l'équation admet une unique solution.
2)
       a) Je pensais faire une récurrence, mais pour le coup je bloque totalement sur cette question.
       b) En admettant que f_n (u_n+1 )<0, je peux en conclure que (u_n ) est strictement décroissante mais encore une fois je n'arrive pas à démontrer que f_n (u_n+1 )<0.
       c)Je sais que (u_n ) est strictement décroissante et minorée par 0 en admettant les précédentes questions, donc je peux en déduire que (u_n ) est convergente.
       d) Je ne comprends pas ce qu'il faut faire.

En vous remerciant de votre aide à cette heure tardive