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Géodésiques

Posté par
Dreamyy 30-09-18 à 14:33

Bonjour j'ai un exercice à faire qui porte sur les géodésiques.
Cependant je bloque ...

Voici l'énoncé :


Soient z_{0},z_{1} H,  avec H = \begin{Bmatrix} z \in \mathbb{C}, Im(z) > 0 \end{Bmatrix}

1) On pose       P_{0}(X) = X² - 2 Re(z_{0} )X + |z_{0}|²       et            P_{1}(X) = X² - 2 Re(z_{1} )X + |z_{1}|²
Pour tout t ]0,1[, on note P_{t}(X) = (1-t)P_{0}(X) + t P_{1}(X) et \Delta _{t}' son discriminant réduit, c'est-à-dire le quart du discriminant habituel. Dans toute la suite, t désigne un réel de l'intervalle [0,1].

(a) Montrer que pour tout z FAIT
(b) Montrer que pour   \Delta _{t}'  < -t(1-t) (Re(z_{0}) - Re(z_{1}))²   FAIT
(c) En déduire que  P_{t}(X) possède une unique racine dans H, notée z_{t}       FAIT  
(d) Exprimer  z_{t} en fonction de  Re(z_{0}) ,   Re(z_{1}) et  \Delta _{t}'
je ne vois pas comment faire avec le Delta '
7)
On suppose que Re(z_{0}) = Re(z_{1}). Montrer que pour tout t [0,0], z_{t} appartient à la droite verticale qui contient z_{0}  et z_{1}

On peut montrer que z_{t} décrit le segment qui relie z_{0}  à z_{1}  lorsque t décrit [0,1]

8)

On suppose que  Re(z_{0}) Re(z_{1}).

(a) Pour tout x [0,1], exprimer | zt - x|² sous la forme | zt-x|² = t+ pour certains et que vous préciserez.

(b)  En déduire que pour tout t [0,1] zt appartient à un cercle de cnetre situé sur l'axe des réels.

Posté par
luzakre : Géodésiques 30-09-18 à 16:22

bonjour !
Tu ne sais pas écrire les racines d'une équation du second degré en utilisant les coefficients et le discriminant (ici un réel strictement négatif) ?
Pour ensuite choisir celle qui a une partie imaginaire strictement positive ?

Rappel : une racine carrée d'un réel strictement négatif A est i\sqrt{-A}

Posté par
Dreamyyre : Géodésiques 30-09-18 à 21:33

Si si je sais mais là je dois l'exprimer en fonction de Delta'

Est ce que cela donne :



\frac{-b-i\sqrt{-\frac{\Lambda }{4} }}{2}

Avec \Lambda = \Delta'

Posté par
luzakre : Géodésiques 30-09-18 à 23:01

Si on t'a dit que calculer \Delta' c'est que le coefficient du terme de degré 1 a un 2 en facteur et il y a une formule simple :
b=2b',\;\Delta'=(b')^2-ac,\;-b'+i\sqrt{-\Delta'} sera la racine de partie imaginaire strictement positive.


Ce que tu proposes est faux, il aurait fallu écrire \sqrt{-4\Delta'} et, de plus,  tu donnes un complexe à partie imaginaire négative.

Posté par
Dreamyyre : Géodésiques 01-10-18 à 12:39

Ahhh je ne connaissais pas cette formule car on a pas encore fait de « cours ». C'est un DM ...

Donc zt = -b' + i\sqrt{-\Delta'}

Avec b' = b/2

Donc mon b' sera la moitié de mon b qui fait 2 lignes 😂

Posté par
carpediemre : Géodésiques 01-10-18 à 13:55

salut

quelle est la question 1a/ ?

Posté par
luzakre : Géodésiques 01-10-18 à 14:25

Ton b est tout simplement -2(1-t)\Re(z_0)-2t\Re(z_1), difficile de faire deux lignes ! Tu écris sur timbre-poste ?

@carpediem
Je pense que à quelque chose du genre z\in H\implies P_t(z)\in H ?

Posté par
Dreamyyre : Géodésiques 01-10-18 à 21:32

Désolé carpediem, il s'agit de :

Montrer que pour tout z H, Re(z)   <    \mid z\mid


luzak Merci de ta réponse. C'était une façon de parler ... ^^'

J'obtiens cela :

\huge z_{t} = (1-t)Re(z_{0}) + tRe(z_{1}) + i \sqrt{-((-(1-t)Re(z_{0}) -tRe(z_{1}))^{2}-((1-t)\left|z_{0}\right|^{2}+t\left|z_{1} \right| ^{2}))}

On peut simplifier ça ? les modules gênent ...

Posté par
carpediemre : Géodésiques 01-10-18 à 21:56

franchement quand je vois autant de moins sous une racine carrée je prends peur ....

Posté par
Dreamyyre : Géodésiques 01-10-18 à 22:16

En fait je n'ai pas besoin d'exprimer delta'

donc je laisse
\huge z_{t} = (1-t)Re(z_{0}) + tRe(z_{1}) + i \sqrt{-\Delta _{t}'}



Pourriez-vous m'aider pour le reste ... Pour la question 7 :

on obtient :

\huge z_{t} = Re(z_{0}) + i \sqrt{-\Delta_{t}'}

Je ne comprends pas très bien la question ...

Posté par
luzakre : Géodésiques 01-10-18 à 23:24

Ben si  z_0,z_1 ont même partie réelle tu remplaces dans la formule précédente et, avec beaucoup d'efforts et d'intelligence, tu verras que t+(1-t)=1.

Et du coup z_0,z_t ont même partie réelle : si tu sais faire un dessin, c'est terminé.

Posté par
Dreamyyre : Géodésiques 02-10-18 à 09:36

Okkaaaaay,
Je te remercie luzak.

Donc pour la (8) (a), avons-nous le droit de dire qu'il s'agit de la distance entre zt et x au carré ?

|zt-x|2 =(z_{t}-x) (\bar{z_{t}-x})

Posté par
luzakre : Géodésiques 02-10-18 à 13:02

Ben oui !
Mais tu irais plus vite en opérant ainsi :
1. donner un nom plus simple aux parties réelles et modules de z_0,z_1 (suggestion : z_0=a+i???',\;z_1=b+i???',\;|z_0|=r,\;|z_1|=s et voir que
\Delta'_t=((1-t)a+tb)^2-(1-t)r^2-ts^2 (ne pas développer plus pour le moment)
et laisser z_t=(1-t)a+tb+i\sqrt{-\Delta'_t}
2. calculer directement le carré du module de z_t-x en écrivant partie réelle et partie imaginaire
3. ne pas développer trop vite cette dernière relation en réfléchissant et observant que des morceaux vont disparaître.
...................................
Je te suggère aussi, au lieu du lapidaire t\lambda+\mu de l'énoncé, d'écrire t\lambda(x)+\mu(x) et de comprendre que si \lambda(x)\neq0 tu n'as aucune chance de trouver le cercle demandé quand t varie.
Bref, voir la nécessité de trouver un x_0 tel que \lambda(x_0)=0.

Posté par
Dreamyyre : Géodésiques 02-10-18 à 18:53

Merci beaucoup luzak !!

Cependant à quoi correspondent les "?" ?

Si j'ai bien compris :

\left|z_{t}-x \right|^{2} = (z_{t}-x )(\bar{z_{t}-x}) = ((1-t)a+tb-x+i\sqrt{-\Delta'_t} ) ((1-t)a+tb-x-i\sqrt{-\Delta'_t} )
Il s'agit d'une identité remarquable
Donc :
(1-t)a+tb-x)^{2}+(\sqrt{-\Delta'_t} )^{2}

Mais après que dois-je faire ? dois-je développer le delta' ??

Merci encore luzak

Posté par
Dreamyyre : Géodésiques 02-10-18 à 20:21

Finalement en développant un peu j'obtiens cela :

-2xa + x2 + r2 + t(2a+b-r2-s2)

Posté par
luzakre : Géodésiques 02-10-18 à 20:35

Les points "?" signifient qu'on s'en fout des parties imaginaires, on  ne s'en sert pas.

Développer \Delta'_t ? Mais tu l'as déjà calculé, non ?

Oui, tu as bien |z_t-x|^2=((1-t)a+tb-x)^2-\Delta'_t mais inutile d'invoquer une identité remarquable pour calculer le carré du module d'un complexe : somme des carrés de la partie réelle et de la partie imaginaire .
Mais si tu regardais (regarde de tous tes yeux, regarde ! disait Jules Verne) l'expression de \Delta'_t tu verrais qu'il contient le groupe ((1-t)a+tb)^2 avec le bon signe pour s'annuler avec celui qui viendrait de (1-t)a+tb-x)^2.
Gain de temps dû à une certaine anticipation sur les calculs. Méthode du paresseux : ne faire que les calculs indispensables !

Bref ne pas développer TOUT le premier carré : seul restera -2x((1-t)a+tb)+x^2.
Il te reste à finir l'exercice...

Posté par
Dreamyyre : Géodésiques 02-10-18 à 20:43

Exact, merci j'en suis arrivé à cette conclusion :
| z_{t}-x|^{2} = -2Re(z_{0})x + x^{2}+ |z_{0}|^{2} + t(2Re(z_{0})x -Re(z_{1})-|z_{0}|^{2}+|z_{1}|^{2})

Posté par
Dreamyyre : Géodésiques 02-10-18 à 20:45

Et donc pour la dernière question, il s'agit de trouver quand = 0 ?

Mais pourquoi ? Lambda = 0 ?
Pourquoi on nous a demandé de calculer le module au carré ! ?

Posté par
luzakre : Géodésiques 02-10-18 à 23:07

Pas vérifié tes calculs mais il me semble avoir trouvé aussi quelque chose comme ça !

Je t'ai dit de mettre \lambda(x) et tu vois immédiatement que si un x vérifie \lambda(x)\neq0 tu ne peux faire rester z_t sur un cercle comme le dit l'énoncé.
Par exemple, fais des dessins...

Si tu trouves des x vérifiant \lambda(x)=0 il est clair que |z_t-x| (au carré si tu n'as pas compris que c'est pareil) est constant quand t varie et tu peux conclure.

......................................

Citation :

Pourquoi on nous a demandé de calculer le module au carré ! ?

Ne sois pas naïf : si tu as le carré, tu as aussi le nombre mais si tu trouves plus intelligent de trimballer des radicaux immenses sur plusieurs lignes, ne t'en prive pas !

Posté par
Dreamyyre : Géodésiques 02-10-18 à 23:31

D'accord je comprends beaucoup mieux.

Donc si je trouve un (x) = 0
t variera alors que le module restera constant.
Il s'agit là d' un cercle : le module reste le même alors que l'argument change.
Est-ce exact ?

Merci encore pour ton aide !!
Je te souhaite une bonne continuation et à bientôt luzak

Posté par
luzakre : Géodésiques 03-10-18 à 07:55

On ne sait même pas si l'argument change (personne ne l'a calculé) et on s'en fout !

C'est tellement évident ce que tu dis à propos du module que je me demande pourquoi une telle question !
Tu avais vraiment des doutes ?

Posté par
carpediemre : Géodésiques 03-10-18 à 08:54

je n'avais pas poursuivi ... tellement les notations me gavaient ... et rendaient abscons l'ensemble du pb ... qui est pourtant très simple ... (d'ailleurs luzak avait fait une remarque à ce propos)

deux remarques cependant :

Dreamyy @ 01-10-2018 à 12:39

Ahhh je ne connaissais pas cette formule car on a pas encore fait de « cours ». C'est un DM ...


un vrai travail intellectuel sur le second degré et la forme canonique (qui ne nécessite que de connaitre les identités remarquables du collège) fait apparaitre les expressions a^2 - b^2 $ et $ a^2 + b^2

et le discriminant apparaît dans b (et je rappelle qu'un discriminant discrimine !!) et permet de conclure : je peux ou ne peux pas factoriser (dans R)

la connaissance des nombres complexes permet alors de conclure que le discriminant ne joue plus le même rôle que dans R et permet de toujours factoriser ... puisque dans le deuxième cas a^2 + b^2 = a^2 - (ib)^2

un savoir basé sur la simple récitation et application de formule n'est pas un savoir

un savoir basé sur le savoir (connaissance des identités remarquables) et le savoir-faire (factoriser, développer et plus généralement maîtriser le calcul littéral) est un savoir .... qui dispense de "savoir" des formules inutiles !!!

il nécessite un effort intellectuel supplémentaire au début puis devient une routine et et il nécessite aussi de regarder pour voir ... ce que luzak relève aussi ....

et ce savoir basée sur la réflexion est le seul et unique véritable savoir !!!


et deuxième remarque concernant la première question (que tu ne nous as pas présenté :

si z est un complexe alors on a toujours Re (z) \le | Re (z)| \le |z| = \sqrt {(Re (z))^2 + (Im (z))^2} et évidemment l'inégalité est stricte dès que Im (z) \ne 0

et de même Im (z) \le | im (z)| \le |z| et évidemment l'inégalité est stricte dès que Re (z) \ne 0


c'est à peine un exercice de niveau lycée et en tout cas qui ne nécessite guère plus de connaissances que celles de niveau lycée mais qui ne peut être compris et maitrisé sans la réflexion que l'on doit poser sur cet exercice ...


c'est cela que tu dois travailler si tu veux vraiment progresser : faire des  mathématiques n'est pas résoudre des pb c'est s'approprier beaucoup plus que sa simple résolution


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