2) Par exemple par la géométrie analytique (pas très joli mais efficace)
On choisit AC comme axe des abscisses et AB comme axe des ordonnées
d'un repère orthonormé.
On a alors:
A(0 ; 0)
B(0 ; b)
C(a ; 0)
Equation de la droite(BC): y = -(b/a)x + b
Comme est sur [BC], on a M(X ; (-b/a)X+b) avec X dans [0 ; a]
|AM|² = X² + (b-((b/a)X)²
|MC|² = (X-a)² + (b-((b/a)X)²
|MB|² = X² + [(b/a)X]²
|AM|² - |MC|² = X² - (X-a)² = 2aX - a² = a(2X - a)
|AM|² - |MB|² = (b-((b/a)X)² - [(b/a)X]² = b² - (2b²/a)X
|AM|² - |MB|² = (ab² - 2b²X)/a = b².(a - 2X)/a
avec b² > 0, on a donc que |AM|² - |MC|² et |AM|² - |MB|² sont de signes
opposés (dépendent tous 2 de signe de a et de (2X-a))
Or |AM|² - |MC|² = (|AM| + |MC|).(|AM| - |MC|)
et comme (|AM| + |MC|) > 0, on a que |AM|² - |MC|² et (|AM| - |MC|)
sont de même signe.
On a aussi de le même manière: |AM|² - |MB|² et (|AM| - |MB|) sont de
même signe.
On conclut donc que: (|AM| - |MC|) et (|AM| - |MB|) sont de signes
opposés.
a) Si |AM| - |MC| > 0, alors on a |AM| - |MB| < 0
et donc |MB| > |AM| > |MC|
b) Si |AM| - |MC| < 0, alors on a |AM| - |MB| > 0
et donc |MB| < |AM| < |MC|
(Il y a aussi le cas particulier ou |MB| = |AM| = |MC|)
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Sauf distraction.