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Niveau maths sup
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Géométrie

Posté par Arno091 (invité) 03-10-04 à 11:45

Soit P un plan affine euclidien. On note AB la distance entre deux points A et B de P. Soit (y) le cercle de centre 0 et de rayon 1.
Soit A,B et C trois points non alignés de P.
On considère l'application f de P dans R qui associe à un point M de P le réel :
f(M)=MA²+MB²+MC².
1) Pour tout point M du plan, exprimer f(M) en fonction de f(G), où G est l'isobarycentre des points A,B,C.
2)En déduire l'expression de AB²+BC²+CA² en fonction de f(G) puis f(O).
3)Déterminer les triangles ABC inscrits dans le cercle (y) pour lesquels la somme AB²+BC²+CA² est maximale.
--------------------------------------------------
Je ne vois pas du tout comment procéder pour faire cet exercice, pouvez-vous m'aider SVP.
Merci à tous et bonne journée.

Posté par Dasson (invité)re : Géométrie 03-10-04 à 14:20

Bonjour,
1
f(M)=(MG+GA)²+(MG+GB)²+(MG+GC)²=3MG²+GA²+GB²+GC²+2MG(GA+GB+GC)
f(M)=3MG²+f(G)
2
f(A)=AB²+AC² (définition) et f(A)=3AG²+f(G) (1)
f(B)=BA²+AC² (définition) et f(B)=3BG²+f(G) (1)
f(C)=CB²+CB² (définition) et f(C)=3CG²+f(G) (1)
En ajoutant membre à membre :
S=AB²+BC²+CA²=3f(G)
En utilisant f(O)=3OG²+f(G) :
S=3f(O)-9OG²
3
OA=OB=OC=1 donc f(O)=3
S=9-9OG² max ssi OG²=0 ssi G=O.

A vérifier...




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