ABC est isocèle en A donc AB = AC.
Appelons I le milieu du côté [BC].
(AI) est donc la médiane relative au côté [BC].

On a IB=IC car I est le milieu de [BC] donc I est sur la médiatrice de [BC] (car tout point équidistant des extrémités d'un segment est situé sur la médiatrice de ce segment).
De même AB = AC donc A est sur la médiatrice de [BC].
Ainsi (IA) est la médiatrice du côté [BC].

Mais c'est également la hauteur issue de A car elle passe par A et est perpendiculaire à [BC] (puisque c'est la médiatrice de ce segment)

Enfin, on sait que la médiatrice d'un segment est un axe de symétrie de ce segment.
Dans la symétrie d'axe (IA), le le symétrique de l'angle BAI est l'angle CAI. Comme la symétrie axiale conserve la mesure des angles, on en déduit que les angles BAI et CAI ont la même mesure.
Donc la droite (AI) coupe l'angle (BAC) en deux angles de même mesure. C'est donc également la bissectrice de cet angle.

Voilà !