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Si I est le milieu de [A;B], l'équation revient à

4 MI² - MC² = 0

et en prenant K le barycentre de (I;4)(C;-1) et en appliquant quelques relation de Chasles et développements on aboutit à

KM = (2/3) IC

c'est donc un cercle de centre K et de rayon (2/3)IC

on remarquera que K est le symétrique du centre de gravité G de (ABC) par rapport au milieu de [AB] et que ce cercle est centré sur K et passe par G

(il est clair que             )

sauf erreur

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Soit I le milieu de AB:

En appliquant une translation de sorte que I soit l'origine.
I = (0,0), M = (x,y) et C = (a,b)



Ce qui est l'équation d'un cercle de centre et de rayon

Comme le dit matheuxmatou: G le barycentre de ABC est sur le cercle et K le symétrique de G par I est le centre du cercle. J'ajoute que C' le symétrique de C par I est sur le cercle aussi.

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En reprenant l'idée de matheuxmatou, un autre chemin possible il me semble :







En notant G et G' les barycentres respectifs de  (I,2),(C,1) et (I,2),(C-1) on obtient :



D'où le cercle de diamètre [GG']