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Niveau quatrième
Géométrie .
Posté par Lililyly
Bonjour pouvez vous m ' aider svp ?
Le sujet : Tracer un triangle ABC rectangle en A , placer un point I sur le segment [ BC ] . La perpendiculaire à ( AB ) passant par I coupe [ AB ] en M et la perpendiculaire à ( AC ) passant par I coupe [ AC ] en N . Où dont - on placer le point I pour que la longueur MN soit la plus petite possible ? . Conjecturer et démontrer .
Merci 
.
Bonjour, remarque que AMIN est un rectangle et donc que MN=AI. Et maintenant conjoncture l'endroit où doit se trouver I pour minimiser AI ?
Conjecturer, c'est deviner, c'est proposer une réponse (sans en avoir encore la démonstration complète).
On conjecture en étant intuitif et un petit peu malin. Imagine que I se déplace sur l'hypoténuse. Quand est-ce que AI va bien pouvoir être minimum ?
Et tu n'as pas lu mon premier post qui te disait de remarquer que AI=MN (les deux diagonales égale d'un rectangle) et donc que c'est pareil de trouver le minimum de MN ou de AI ?
Si je l ' ai remarquer sa . Mais ou place t ' on I pour trouver que la longueur MN soit la plus petite possible , sur mon cours de
mathématique il est écris la distance la plus petite c ' est quand on fait une perpendiculaire ? .
Et oui, voilà c'est ça.
Donc ta conjecture va être que MN est minimum quand I est le pied de la perpendiculaire abaissée de A sur BC.
Maintenant, il reste à écrire une démonstration compréhensible que c'est bien ça.
On sait que : I est un point de la droite BC
A est le pied de la perpendiculaire
Propriété : La distance d ' un point I à une droite BC est la longueur du segment AB ou A est le pied de la perpendiculaire à BC issue de I .
Donc la longueur est la plus petite possible quand A est le pied de la perpendiculaire
Est ce sa ? .
non, A n'est pas le pied de la perpendiculaire , A est déjà un des sommet du triangle. C'est I le pied de la perpendiculaire, ne mélange pas les points sinon on n'y comprend plus rien.
Essaye de formuler une démarche logique qui mène au résultat que tu as trouvé. Tu as tous les éléments pour le faire.
je t'ai presque déjà tout dit.
tu expliques que AI=MN parce que le quadrilatère AMNI est un rectangle et que AM et AI sont ses deux diagonales.
Ensuite tu dis que le minimum de AM sera donc également celui de AI.
Tu dis ensuite que AI sera minimum quand I sera le pied de la perpendiculaire menée de A sur BC puisque le minimum de la distance d'un point à une droite est le segment perpendiculaire à la droite.
Puis tu conclus en disant que I est donc le pied de la perpendiculaire menée de A sur BC.