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Niveau terminale
Géometrie
Posté par juan11
Bonjour à tous,
Voilà je bloque sur cet exo:
Soit O un point du plan et C le cercle de centre O et de rayon 2 et A un point du plan tel que OA=10.
On place un point M quelconque sur le cercle C et son symétrique M' par rapport à (OA).
Existe-t-il une position du point M telle que l'aire du triangle AMM' soit maximale ?
J'ai trouvé que l'aire maximale: 20.38 avec géogebra en réalisant la figure mais je ne sais pas comment le justifier par un calcul.
Pouvez vous m'aider SVP
Moi je prendrais un repère centré en O avec OA comme axe des x, et je prendrais comme variable l'angle a=(OA,OM)
M(2cos a ; 2 sin a) M'(2cos a , -2 sin a) A (10,0)
l'aire AMM' = MM'.HA/2 (H intersection de MM' avec OA) donc = 2 sin a (10 - 2 cos a)
reste à trouver le maximum de cette fonction. Effectivement, on trouve bien un maximum égal à 20.382 pour un angle a ~ 1.758 radians
Bonjour,
Il te faut poser par exemple , côté du triangle, et longueur variable, ensuite exprimer les autres cotes de ton triangle en fonction de
, puis exprimer aussi ton aire de triangle en fonction de
.
ho c'est pareil, moi j'ai pris l'angle comme variable mais on doit pouvoir aussi prendre MM'. on va simplement dériver des racines carrées au lieu de formules trigonométriques. question de goût.
Oui, on peut effectivement considérer que c'est la "même chose".
D'ailleurs ça peut être intéressant de présenter les 2 approches à Juan11.
Merci pour votre aide , je comprend pas la méthode à Glapion mais pour la méthode à jedoniezh comment savoir à quoi est égal M'A et MA en fonction de x=MM'?
Avec ça, on y voit déjà plus clair.
Reste à choisir l'action à mener à présent (quelle est la variable ?).
C'est justement à toi de définir la variable : est-ce l'angle, est-ce MM', est-ce (1/2)MM', autre ?
A toi de poser cette variable.
Bonjour,
le choix de MM' comme variable est très peu judicieux car pour une même valeur de x il y aurait deux triangles différents (MM' d'un côté ou de l'autre de O) et donc on ne peut pas écrire l'aire du triangle en fonction de x ...
il vaut mieux prendre comme variable l'abscisse de M et de M' (distance algébrique de O au milieu de MM')
et en plus les formules seront plus simples à écrire 
par ailleurs (hors sujet) on peut résoudre le problème de façon purement géométrique, sans fonction ni recherche du maximum d'une fonction, mais ce n'est pas "dans l'optique de l'exo" (exercice sur les dérivées)
bonjour Glapion,
oui, je suis rentré depuis une paire de semaines déja, mais des pb sur mon PC (crash disque dur) m'ont pas mal occupé depuis.
Je suis pleinement d'accord avec la (les) remarque(s) de Mathafou, notamment sur la complexité des calculs avals.
il faut préciser et pas simplement en longueur (x est l'abscisse de I, pas seulement la distance géométrique)
entre autre la hauteur AI = abscisse de A - abscisse de I = 10 - x quel que soit x dans [-2; +2]
(= ne pas s'amuser à différencier des cas selon que MM' est à gauche ou à droite de O)
la solution cherchée est "évidemment" avec x <0 ...
nota : dans Geogebra, on peut taper $x = \overline{OI}$ pour afficher
Citation :
nota : dans Geogebra, on peut taper $x = \overline{OI}$ pour afficher
nota : dans Geogebra, on peut taper $x = \overline{OI}$ pour afficher
Merci beaucoup pour cette précisions de manipulation Geogebra que j'ignorais.
Merci à tout le monde pour votre aide , si j'ai à peu près compris il faut créer une fonction puis la dériver ?
Si oui
Faut-il créer une fonction à partir de la formule de l'aire d'un triangle ?
j'ai pensé à un truc mais sa doit pas être ça :
la base maximale est de 4 et minimale 0.
on sait que la hauteur est (10-x)
on essaye les valeurs comprises en 0 et 4 une infinité je sais ... 
Exemple avec 4 : 4*(10-x)/2 = 20-2x et on sait que x [-2;2] et la lorsque la base est de 4 , x=0
20-2*0= 20 donc l'aire de AMM' est 20 .
Mais je ne sais pas comment le généraliser
juan1 :
Citation :
on essaye les valeurs
certainement pas
on essaye les valeurs
on n'essaye rien du tout
on calcule le maximum d'une fonction (en la dérivant)
Citation :
Faut-il créer une fonction à partir de la formule de l'aire d'un triangle ?
bein oui ...
Faut-il créer une fonction à partir de la formule de l'aire d'un triangle ?
une fonction de la variable choisie pour paramètrer le problème
par exemple une fonction de
ou bien en fonction de l'angle a (comme Glapion)
il faut aire = fonction d'une seule variable
donc dans
il reste à exprimer MM' en fonction de x et de rien que de x (avec Pythagore) et des valeurs numériques de l'énoncé.
ou bien
à partir de MM' = 2IM = 4sin(a), certes
puis dans
avec OI = Rayon
cos(a) et donc etc...Bonjour,
Après avoir lu vos conseils
J'ai calculé IM avec Pythagore et je trouve racine de 4-x² donc la base c'est 2*(racine de 4-x²) et on a la fonction = [2*(racine de 4-x²)*(10-x)]/2 et maintenant il faut la dériver ?
Bonjour,
On peut simplifier l'expression (un 2 au numérateur et au dénominateur).
Calculer la dérivée, puis étudier son signe pour étudier les variations de la fonction et ainsi déterminer son maximum.
je t'avais prévenu qu'il faudrait dériver des racines au lieu de sinus et cosinus 
mais si tu préfères, c'est toi qui voit.
Citation :
Comment ça sinus et cosinus ?
Comment ça sinus et cosinus ?
Mon premier post donnait aire = 2 sin a (10 - 2 cos a) , non ?
Rien, moi j'aime mieux étudier cette fonction trigo que (√4-x²)*(10-x) mais peu importe, continue comme t'étais parti, ne te perturbe pas.
Bon j'ai commencer, en faisant (uv')=u'v+uv' et je trouve (1/2*(√4-x²)*(-1/2x -5)+(√4-x²)*-1/2 mais là je bloque !
le problème avec cette méthode est les racines carrée qui embêtent
en fait trouver le maximum de A avec A > 0 (après tout l'aire est une grandeur positive par définition),
est équivallent à :
trouver le maximum de A2 (la fonction racine carrée est une fonction croissante)
et du coup les racines disparaissent dès le départ :
on calcule la fonction
Aire au carré = f(x) etc...
on garde sous la forme factorisée on ne développe surtout pas la dérivée de uv
au contraire on factorise cette dérivée dès que l'on a écrit u'v + uv'
De mémoire car j'ai jeté le brouillon, cela aboutit à une simple équation du second degré facile à résoudre.
De toute façon avec la méthode trigo, on ne coupe pas de cette équation du second degré (une équation du second degré en cos(a) par exemple)
et comme on obtient non pas a mais cos(a) ce qu'on obtient en vrai c'est ... x !! (x = 2cos(a))
les deux méthodes sont en réalité de complexité équivalente, le choix n'est qu'une question de goût.
Oui mathafou, bien sûr c'est plus subtil, mais même avec la méthode "grossière" on obtient quasi-immédiatement en mettant au même dénominateur :
On retrouve un polynôme du second degré et on peut conclure.
Bref tous les chemins mènent à Rome même si certains sont plus esthétiques, plus élégants, plus fouillés (cet exercice est en l'occurrence intéressant)
jai trouvé f'(x)= -2x/2(√4-x²) * (10-x)+(√4-x²)*-1
= -2x*(10-x)/2*(√4-x²) -(√4-x²)
= -10x+x²/√4-x² -(√4-x²)
= (-10x+x²)-[(√4-x²)*(√4-x²)]/(√4-x²)
= -10x+x-4+x²/(√4-x²)
= x²-5x-4/√4-x
Est-ce juste ? avant de calculer le trinôme
Euh pardon je me suis trompé sur mes dernière ligne je trouve bien le f'(x)de littleguy et après calcul de delta et avoir fait le tableau je trouve le maximum de f(x)en 20.38201213 donc l'aire maximale , merci beaucoup pour votre aide exercice terminé !