Je vous en supplie aidez moi ça fait 2 jours que je bloque sur cet
exo!!!
Merci

Bonsoir,

Je peux essayer de te donner quelques idées.
De manière simple, on démontre que AB=BC=AC car ce sont les hypoténuses
de triangles rectangles isocèles de côtés a,a.
De plus on connaît les coordonnées du point D (en utilisant celles du
point H). D(-a/3;-a/3;-a/3). On peut alors calculer la longueur DA
à l'aide des coordonnées(les autres se calculent de la même
manière).
On obtient que DA=DB=DC=AB=AC=AD=aV2/2.

Le point P est situé sur les plans médiateurs des segments [AB],[AC]
et [BC] or on peut montrer que l'intersection de deux de ces
plans est la droite (OH). En effet H et O sont situés à égale distance
de A, B et C.
Donc P appartient à (OH).
De plus, je pense (à vérifier) que dans un tétraèdre régulier, le centre
de la sphère circonscrit est confondu avec l'isobarycentre de
A, B, C et D.

@+

bonsoir
permettez moi de vous répondre

tout d'abord vos résultats suivants sont corrects:

OH= a.rc(3)/3  et que H a pour coordonnées : (a/3; a/3; a/3)


1) démontrer que le tétraèdre ABCD est régulier ?

l'espace étant rapporté au repère orthonormé (O,i,j,k)

OA=a.i , OB=a.j  et OC=a.k

et OH=a/3(i+j+k)

donc OD=HO=-OH=-a/3(i+j+k)

AD=OD-OA=-a/3(i+j+k)-ai=-a/3(4i+j+k)
AB=OB-OA=a(-i+j)
AC=OC-OA=a(-i+k)
BC=OC-OB=a(-j+k)
BD=OD-OB=-a/3(i+j+k)-aj=-a/3(i+4j+k)
CD=OD-OC=-a/3(i+j+k)-ak=-a/3(i+j+4k)

donc
||AD||=a/3rc(4²+1²+1²)=a/3rc(18)=arc(2)
||AB||=arc(1²+1²)=arc(2)
||AC||=arc(1²+1²)=arc(2)
||BC||=arc(1²+1²)=arc(2)
||BD||=a/3rc(4²+1²+1²)=a/3rc(18)=arc(2)
||CD||=a/3rc(4²+1²+1²)=a/3rc(18)=arc(2)

donc

||AD||=||AB||=||AC||=||BC||=||BD||=||CD||=arc(2)

donc le  tétraèdre ABCD est régulier.

2) Soit  P le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre ABCD. Démontrer
que P est un point de la droite (OH) puis calculer ses coordonnées.
?

Le tétraèdre ABCD étant régulier donc le centre de la sphère circonscrite
est l'isobarycentre G de A,B,C et D

Ce point est tel que : 4OG=OA+OB+OC+OD

4OG=(ai)+(aj)+(ak)+(-a/3(i+j+k))
       = a(1-1/3)i +a(1-1/3)j+a(1-1/3)k
       = 2a/3(i+j+k)

donc OG=a/6(i+j+k)

comme OH=a/3(i+j+k)

donc 2OG=OH

donc G est alignés avec O et H donc il apprtient à la droite (OH)

de plus G est le milieu de OH.

voila

bon courage

Merci c'est très gentil de ta part, j'ai compris ce que
tu m'as expliqué
Merci!!!!!!