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Niveau seconde
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géométrie

Posté par
kikipopo
19-04-21 à 21:00

Bonjour,

1 - On veut construire deux cercles C et C'de rayon respectif R et r tangeants entre eux et tangent à une même droite d.
On note a la distance CD
a. montrer que (R + r)2 = (R - r)2 + a2
b. En déduire la valeur de a en fonction des deux rayons
c. Effectuer la construction dans le cas où R = 9 cm et r = 4 cm

2. On va résoudre le problème des trois cercles illusté par la figure ci-dessous.
Pour cela on va étudier la situation à l'aide de la question 1 en se basant sur deux cercles tracés de rayons de 9 cm et de 4 cm.
Soit c le rayon du troisième cercle et I son point de tangence avec la droite d.
a. A l'aide de la question 1.b., montrer que CI2 =36c et DI2 = 16c.
b. En déduire le rapport CI/DI' puis la valeur de CI.
c. calculer la valeur exacte de c.

1. a
Sur la figure on remarque que :
- AC et BD sont parallèles et que EC = BD = r et donc que AE = R - r
- ABE es*4t un triangle rectangle et que AB = R + r

- EBDC est un rectangle et que  EB = CD  donc = a

Selon Pythagore AE2 + EB2 = AB2
(R+r)2 = (R-r)2 + a2

En developpant on obtient 4Rr = a2
a = \sqrt{4Rr}


Si on donne à chaque côté du triangle sa valeur on obtient :
((13)2 = (5)2 + 4*9*R
169 = 169 : l'équation du début est vérifiée.

a = \sqrt{144} = 12

2. a CI2 = 4*R*c = 4*9*c = 36c
DI2 = 4*4*c = 16c

CI = 6\sqrt{c}
DI = 4\sqrt{c}

b. en déduire le rapport CI/DI' puis la valeur de CI


Je ne sais pas où se trouve le I'

Merci






géométrie

Posté par
Leile
re : géométrie 19-04-21 à 21:13

bonjour,

il s'agit du rapport  CI/DI    et non CI/DI'

Posté par
kikipopo
re : géométrie 19-04-21 à 22:48

CI/DI = 3/4 =1,5
DI+CI = 12

CI = 12/1,5  = 8
DI = 4

c = 1,5 cm

Posté par
mathafou Moderateur
re : géométrie 20-04-21 à 11:19

Bonjour,
8/4 ne fait pas 1,5 ...

(DI+CI)/(CI/DI) = 12/1.5 ne donne pas CI !

de la première, tirer CI =en fonction de DI
et reporter dans la seconde.

Posté par
kikipopo
re : géométrie 20-04-21 à 13:15

CI + 3/4 de DI
CI = 3/4 de 4 = 3
c=3

Posté par
mathafou Moderateur
re : géométrie 20-04-21 à 13:32

façon farfelue de résoudre (complètement faux)
(d'ailleurs essaie de faire la figure avec soin et tu verras bien que ça ne colle pas du tout ! )

et de toute façon point de départ faux
CI/DI = 3/4 déja faux.

CI = 6\sqrt{c}
DI = 4\sqrt{c}
CI/DI = 6/4 = 1.5 oui (3/2), pas 3/4

CI/DI = 1.5 donne ;
CI= 1.5 DI
(et on ne connait pas plus DI que CI : ce sont deux inconnues, DI n'est pas égal à 4 !!)

on remplace dans CI + DI = 12 ce qui donne :

1.5 DI + DI =12

etc

Posté par
kikipopo
re : géométrie 20-04-21 à 13:58

1/5 DI+ DI = 12

1/5 DI+5/5 DI=60/5

DI = 60/6 = 10

DI=\sqrt{4*4*c^{2}}

10 = 4c
c= 2,5 cm

Posté par
mathafou Moderateur
re : géométrie 20-04-21 à 14:16

faudrait savoir recopier correctement !!

ce n'est pas 1/5 DI c'est 1.5 DI alias 3/2 DI !!

Posté par
kikipopo
re : géométrie 20-04-21 à 14:44

3 DI +2 DI = 24
DI= 4,08
16,6464 = 4*4c2\sqrt{16,6464}=\sqrt{16c^{2}}

Posté par
kikipopo
re : géométrie 20-04-21 à 14:47

c = 4,08/4=1,02

Posté par
mathafou Moderateur
re : géométrie 20-04-21 à 14:48

ta calculette est en panne ...

24/5 ne fait pas 4,08

Posté par
kikipopo
re : géométrie 20-04-21 à 14:50

4,8
c = 1,2

Posté par
mathafou Moderateur
re : géométrie 20-04-21 à 15:00

DI = 4,8 OK
c = 1,2 est faux

on a DI = 4\sqrt{c}

comment résous tu \sqrt{x} = a ?
par exemple \sqrt{x} = 10 \quad \Rightarrow \quad x = {\red 100}
on a bien \sqrt{100} = 10

Posté par
kikipopo
re : géométrie 20-04-21 à 15:25

DI2 = (4\sqrt{c})2

23,04 = 16c
c = 1,44

Posté par
mathafou Moderateur
re : géométrie 20-04-21 à 16:06

Oui

nota : ce que demande l'énoncé c'est CI
mais si on connait DI, on en déduit CI vu que la somme = 12 ...

Posté par
kikipopo
re : géométrie 20-04-21 à 16:40

CI = 7,2.

Posté par
mathafou Moderateur
re : géométrie 20-04-21 à 16:44

Oui.

Posté par
kikipopo
re : géométrie 20-04-21 à 18:44

Merci.

Posté par
mathafou Moderateur
re : géométrie 20-04-21 à 21:35

"1c. Effectuer la construction dans le cas où R = 9 cm et r = 4 cm"

je doute que l'énoncé demande une construction
plutôt de tracer une figure
(après avoir fait les calculs numériques, en particulier que CD = 12 avec le double décimètre)

une véritable construction c'est autre chose : étant donnés la droite et les deux rayons, et rien d'autre
et ensuite rien que avec la règle non graduée et le compas
(ce n'est pas très difficile, mais on ne fait plus de constructions de nos jours :
la rigueur logique et le "savoir faire" qui y sont nécessaires ne sont pas atteignables)

pour construire le 3ème cercle, c'est une toute autre histoire ...
d'ailleurs il n'est même pas envisagé de le faire dans la question 2

pour info, des constructions possibles là : dans une applet Geogebra

géométrie
les rayons sont définis par les curseurs ou les points déplaçables A et E
tout le reste suit par construction (de cercles, parallèles, perpendiculaires et leurs intersections, reports de distances et c'est tout)

Posté par
kikipopo
re : géométrie 26-04-21 à 09:52

Message pour Mathafou
Bonjour,
je ne pouvais pas répondre  plutôtà votre remarque  :  
"1c. Effectuer la construction dans le cas où R = 9 cm et r = 4 cm"
C'était bien l'énoncé : Indice Maths 2 de page 174 N° 100.
Je n'ai pas le droit de scanner le livre.

Mais la dernière question de l'exercice était : "effectuer la construction avec un logiciel de géométrie.
j'ai mis en pratique vos conseils à partir de votre figure, mais je ne l'ai pas rendue parce que je ne suis pas encore capable de la reproduire. Il faut que je m'entraîne encore.
Merci.
Bonne journée.

Posté par
mathafou Moderateur
re : géométrie 26-04-21 à 10:27

je ne contestais pas que l'énoncé était écrit comme ça !!
ce que je conteste c'est qu'il utilise le mot "construire" dans un sens douteux.
dans l'esprit de l'énoncé, pour lui construire c'est tracer CD = 12 cm !

(après avoir calculé dans la question d'avant que CD doit faire 12 cm)

de sorte que avec d'autres valeurs de rayon, il faudrait refaire le calcul, et encore heureux si par miracle on obtenait une distance entière !
sinon tracer au double décimètre 2\sqrt{6} par exemple, (rayons 2 et 3 cm)
on peut certes calculer que 2\sqrt{6}\approx 4.898979...
mais 4,9cm certes, ça peut faire illusion (vu l'épaisseur des traits) je n'appelle pas ça une construction géométrique

Posté par
kikipopo
re : géométrie 26-04-21 à 10:45

Oui, je comprends que la figure ne respecte pas les dimensions exactes, la question voulait peut-être faire découvrir la différence entre une "construction à main lévée" et des outils peu précis et la construction avec un logiciel.
mais le jour où les logiciels tomberont en panne (voir ce qui s'est passé dans les hôpitaux récemment, en particulier) ce serait utile qu'on ait pas complètement oubliè comment ça se faisait avant !
Chaque technique a ses défauts

Posté par
mathafou Moderateur
re : géométrie 26-04-21 à 11:16

"le logiciel" fait exactement ce qu'on faisait avant (ce qu'on devait faire avant)
il simule une vraie règle et un vrai compas et rien d'autre.
dans le cadre d'une vraie construction
et pas d'une entourloupette avec une "règle graduée en millionièmes de microns" = calculs numériques et report de ces calculs par le logiciel.

même si au plus bas niveau dans le logiciel il ne fait finalement que des calculs numériques sur des coordonnées, ce n'est pas comme ça qu'on lui définit ce qu'on veut lui faire tracer.

mais exactement comme avec une vraie règle (non graduée) et un vrai compas :

- tracer la droite passant par deux points connus

-tracer le cercle de centre connu passant par un point connu, ou de rayon la distance entre deux points connus

- tracer l'intersection de telles lignes

et RIEN d'autre.
comme avec règle et compas, on a le droit d'utiliser des raccourcis :
tracer des parallèles et des perpendiculaires etc parce que de telles constructions classiques sont archi connues et qu'il est inutile de les détailler.

en tout cas il n'y a nulle part dans aucune construction le calcul de la valeur numérique (de CD par exemple) , ni de "ajuster jusqu'à ce que ça touche"
ça , ça n'existe pas.

Posté par
kikipopo
re : géométrie 26-04-21 à 11:32

Merci.
Je vais m'entraîner.



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