Bonjour

Qu'as tu fait pour le moment ? Tu as fait une figure ?

Chasse aux angles pour montrer que l'angle AOB est plat mais blocage
Je suis entrain d'explorer les divisions harmoniques

Voici la figure

Bonjour,
  Le quadrilatère ABCD  est inscriptible  dans le cercle de  centre O  qui  est le point de concours des...................................... du quadrilatère.

Bonjour,
>>PLSVU
Je ne comprends pas ce que tu écris.
Cet exercice est une réciproque de propriétés du triangle orthique.
>> djaraf
Bien que tu n'aies pas de réponses pour l'instant, sois bien persuadé que certains cherchent à commencer par moi.
Je n'ai malheureusement pas de solution pour l'instant.
Patience et longueur de temps ...

Bonjour,
  il faut tout simplement utiliser la construction du quadrilatère ABCD inscriptible dans le cercle de centre O , point unique de concours des quatre médiatrices de cotés du quadrilatère

_{* Modération > Citation inutile effacée. *}

Bonjour PLSVU pouvez vous être plus clair. Par hypothèse, le point E est sur {AB]

Bonjour

erreur d'envoi

Bonjour,
  le début de la construction à terminer et à justifier

Bonjour,
  A partir de l'énoncé et de cette image , et en complétant le texte ..

Bonjour,
Je n'ai réussi qu'à démontrer la réciproque en m'inspirant d'une démonstration pour le triangle orthique.
Ces temps-ci, je n'ai pas à ma disposition d'outils pour faire une figure.
Voici ce que ça donne :
On suppose que ABCD est un quadrilatère inscrit dans le cercle de diamètre AB.
M est le point d'intersection des diagonales AC et BD.
H est le projeté orthogonal de M sur (AB).
En utilisant les cercles de diamètres MB et MA, puis de diamètre AB on démontre que [EM) est la bissectrice de l'angle CED.

Pour ce qui est demandé, j'ai tenté d'utiliser le diamètre [A'B'] parallèle à (AB), sans succès.

Bonsoir à tous, bonsoir Sylvieg,
Comme toi, je cherche toujours sans résultat pour l'instant mais je n'abandonne pas encore bien que je commence à "fatiguer" ... Je ne peux pas m'empêcher de penser à une réciproque concernant un certain rectangle.
Bientôt un nouveau casse tête dans le forum détente ?

Bonjour,
1)On sait à partir de l'énoncé que :
ABCD n'est pas un losange ,CD<AB  ,(AB) et(CD)  ne sont pas parallèles
ABCD est un quadrilatère inscriptible dans le cercle de centre O de rayon r=OA=OB=OC=OC
l(e point O appartient  aux médiatrices des côtés [AB],[BC][CD] et [DA] )
autrement dit  le point O est le  point de concours des  médiatrices des cotés du quadrilatère
le point M est le point d'intersection des diagonales [AC]et [BD]
le point noté E  est le projeté orthogonale du point M sur [AB]
2) construction des points C,E,D
Par construction
la demi-droite [EM)  est la bissectrice de l'angle  CED  , par définition du point E  et par définition du point M ,on en déduit que[ EM ) est   orthogonale à la droite (AB) en E
construisons ∆  la médiatrice  de [DC]  ,[ EM) et ∆  sont sécantes en F≠E  puisque les droites (AB) et(CD)  ne sont pas parallèles
Or ∆' la médiatrice  du segment [AB]  par définition est perpendiculaire à (AB ) elle est donc parallèle à  [ EM)
de plus ∆' médiatrice de [ AB]  coupe aussi les médiatrices des deux autres cotés  en O , centre du cercle  circonscrit  au
quadrilatère ABCD  puisque le quadrilatère ABCD est inscriptible dans le cercle  défini par le point O et le rayon r
par suite
F=O  et OA=OB =OC  
Tracé du cercle  (O,OC) les points A et B =>[ AB] =diamètre , et les diagonales
[EM) coupe le cercle en G
A partir de angles inscrits on montre que  le point d'intersection des bissectrices du triangle EDC est le point M ,intersection des diagonales du quadrilatère ABCD

Bonjour,

je ne comprends toujours pas où tu veux en venir
tu sembles partir d'une construction à partir de C, D, E
mais
ton O est une illusion


rien ne permet à ce stade d'affirmer que O serait le point P, sauf à décréter à priori que AB est effectivement un diamètre ce qui est justement ce qu'on cherche encore à prouver
M ne figure pas ni les diagonales à ce stade
il faudrait prouver que si AB n'est pas un diamètre, ces diagonales ne se coupent pas sur la droite (EM)
ce serait une démonstration alors valide, mais pour l'instant on ne l'a pas.

d'autre part F = G et différent de O (des fautes de frappe ou un renommage intempestif des points ? )

Bonjour mathafou
Tu as vérifié que le point M d'intersection des diagonales   [AC} et [BD] appartient à la bissectrice nommée[EM) facile à vérifier   par calcul  ....  de  plus AB≠2r

_{désolée pour des fautes de frappe ou un renommage intempestif des points ?   étant  plus agée que toi ... et souffrant DLMA ...)}

calcul de quoi ?
on ne sait pas où est M ni O et on ne connait pas encore r
on ne le saura que quand on aura prouvé que AB est un diamètre
voir ma figure, aucune preuve que O doit être en P

Bonsoir,
Peut-être une solution un peu alambiquée ...
Les droites et (non parallèles) sont sécantes en .
La droite coupe en :

Lorsque est bissectrice de l'angle , la droite en est la bissectrice extérieure.
Le cercle de diamètre est un cercle d'Apollonius relatif au segment et passe par .
On a la division harmonique
Le faisceau de droites est harmonique.
En conséquence est une division harmonique et avec milieu de :

Reste à montrer que est nécessairement en .

Un oubli (crucial pour la fin, désolé) :

Citation :
On a la division harmonique

Bonjour,
  Suite aux messages  du 23-03-25 à 17:15et du 27-03-25à12h:43
dans l'ordre  les traits bleus ,puis les rouges les verts et les traits orange le point M situé sur [EM) est  le point d'intersection des diagonales [AC] et [BD]

c'est à dire que tu supposes à priori sans aucune preuve que O est là où tu l'as mis.
alors que c'est justement ce qu'il faut démontrer (que O est sur la perpendiculaire en E)

Bonjour,
Je continue de chercher sans succès
Une idée qui pourrait vous inspirer :
Avec l'orthocentre M' du triangle ABM.
C' et D', les pieds des hauteurs issues de A et B sont sur le cercle de diamètre [AB].
En utilisant la réciproque dont j'ai parlée le 26 mars, les diagonales du quadrilatère ABC'D' se coupent en un point M' qui est sur (EM).
Et après, je bloque.
Comment utiliser AB > CD et les droites non parallèles ?
Kohle utilise les droites non parallèles avec le point d'intersection G.

Bonjour,
Je crains de pas avoir été assez précis ici :

Citation :
Reste à montrer que est nécessairement en .

Bonjour
Cercle de centre O de rayon r
  Si [ AB] est un diamètre du cercle  AB=2 r sinon c'est une corde
tout diamètre passe par le centre du cercle (ce n'est pas une  illusion...)
donc O appartient à [AB]
[EM) est perpendiculaire à [AB]
E  doit être un point   de [AB]  puisque E est le projeté orthogonal de M sur [AB] ( intersection  des diagonales lorsque le quadrilatère est  défini)
∆' médiatrice de [ AB] passe par O(non tracée car évident)
pour l'instant M est un point de la bissectrice de l'angle DEC
   ensuite les points A,E,O, B sont alignés
O≠E sinon la bissectrice de l'angle devrait être aussi la médiatrice  de[DC] et alors (DC) et (AB) seraient parallèles
  rapppel énoncé(AB) non parallèle à (CD)

Bonjour à tous,
>>Sylvieg  j'ai tenté de faire la figure relative à ton message de 17h25 :

Je ne comprends pas ceci :

Il me semble que tu as échangé C' et D'.
J'ai fait (à main levée) une figure où l'angle AMB est aigu.
Avec ton angle obtus, le quadrilatère ABC'D' va être croisé ?
Je ne vais plus être disponible avant ce soir.

Oui, j'ai échangé et mais ça ne change pas grand chose dans la mesure où le quadrangle est orthocentrique
C'est le mot savant pour résumer qu'un des points est l'orthocentre du triangle formé par les trois autres.
Une remarque au sujet des "croisés" :
Si on lit bien l'énoncé de départ, rien n'empêche que le quadrilatère soit croisé et toujours en suivant scrupuleusement l'énoncé, toute la boutique fonctionne.
On peut faire une figure "double" avec le quadrilatère et le quadrilatère (si l'un est convexe, l'autre est croisé) pour s'en convaincre.

Bonjour
Une proposition

Bonsoir djaraf,
J'ai déjà eu affaire à toi dans un passé indéterminé (sous un autre pseudo). J'avais constaté que tu n'étais pas le premier venu en géométrie.
Ton dernier message le confirme.
Il commence exactement comme le mien mais a le grand mérite d'une certaine "homogénéité".  Ma conclusion est laborieuse et pas très satisfaisante.
Deux minuscules critiques :
- Ta figure : il eut mieux valu que ne soit pas un diamètre de manière à faire apparaître clairement les points et
-

Citation :

Bonjour
Effectivement KOHLE , les divisions harmoniques ont leur mot à dire. J'ai souffert avec la chasses aux angles.
A propos de la figure vous avez raison je devais continuer avec ma première figure pour bien faire apparaitre  les points D' et C'
Les messages des membres du forum donnent des idées;
Merci à toutes et à tous.

Bonsoir à toutes et à tous,
J'étais très curieux de voir ce que cet exercice donnait "ailleurs".
Je l'ai donc posté ici : (après avoir élaboré une solution potable). J'espère qu'on ne m'en voudra pas ...
Sans surprise un certain Rescassol a pondu une solution calculatoire.
Et puis un certain pappus est intervenu.
Inutile de préciser que je suis un misérable gamin géométrique devant ce gaillard.

Bonjour,
Tu as bien fait.
C'était, semble-t-il le bon moyen pour obtenir une démonstration plus simple, accompagnée d'une figure claire.
Noter que l'existence des points d'intersection des droites (AB) et (CD) ainsi que (AD) et (BC) utilise les hypothèses "AB plus grand que CD et (AB) non parallèle à (CD)".

PS Les divisions harmoniques sont un lointain souvenir pour moi.
Je ne les ai sans doute rencontrées qu'en terminale et plus jamais depuis.
J'ai tout oublié

Bonjour,
Si on est heureux possesseur du Lebossé & Hémery de mathélem, on peut éventuellement le consulter.
Sinon voici deux extraits :


Le premier, relatif aux divisions harmoniques, concerne cet exercice aux paragraphes 271/272.
Mais surtout le second, relatif aux pôles et polaires par rapport à un cercle, en particulier le paragraphe 343, permet de bien comprendre la démarche de l'ami pappus

Bonjour Kohle
   Je suis de la génération Lebossé & Hémery    ( mathElem 61)  j'ai tout oublié ... et je n'ai plus les livres .
je vais faire une copie ...Merci

Bonjour PLSVU,
Si tu pouvais faire apparaître provisoirement ton adresse mail dans ton profil (une case à cocher), je pourrais t'envoyer quelque chose de beaucoup plus intéressant que ces 4 misérables pages.

Merci Kohle
Pas le temps en ce moment, mais je regarderai.

Merci Kohle
Je suis intéressé par cette documentation

Bonjour djaraf,
Deux solutions :
-Soit tu fais apparaître ton adresse mail dans ton profil (une case à cocher en bas du formulaire : "afficher mon email pour les membres"
-Soit tu m'envoies un mail (mon adresse est dans mon profil).

Bonsoir Kohle
^{je t'ai envoyé un message}