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Géométrie affine

Posté par
lolo5959
21-09-05 à 22:58

Bonsoir à tous!

Voilà, je bloque sur la première question de mon exercice, donc je suis bloquée pour le continuer:

Je dois montrer que deux bijections f et g de E dans E(flèche) définissent la même structure affine sur E si et seulement si g o f^(-1) est une translation.

Le problème, c'est que je ne sais même pas par quoi démarrer ma démonstration.J'ai  essayé de traduire le fait que g o f^(-1) est une translation en termes mathématiques, mais ça ne m'avance pas à grand chose....

Alors voilà, si quelqu'un avait une idée pour me débloquer( ça fait 1h30 que je suis dessus et je tourne en rond )

Merci beaucoup!

Posté par
Flo_64
re : Géométrie affine 22-09-05 à 13:47

Ton ennoncé se limite à ca?? tu n'as rien d autre sur f et g ??

Posté par
lolo5959
re : Géométrie affine 22-09-05 à 14:09

Bonjour Flo_64 et merci de m'aider!

Je n'ai rien d'autre sur f et g, je sais juste que ce sont des bijections de E dans E(flèhce)...
Je viens de regarder,mais j'ai recopié l'énoncé tel qu'il m'est donné...


Posté par
elhor_abdelali Correcteur
re : Géométrie affine 22-09-05 à 15:46

Bonjour lolo5959 et Flo_64;
Rappel:
Soient \vec{E} un \mathbb{R}-espace vectoriel et E un ensemble quelcoque.
En général si \Theta\hspace{5}E\to\vec{E} est une bijection on peut munir l'ensemble E des deux lois + et . définies par:
3$\fbox{\forall M,N\in E\hspace{5}\forall\lambda\in\mathbb{R}\\ \{{M+N=\Theta^{-1}(\Theta(M)+\Theta(N))\\ \lambda.M=\Theta^{-1}(\lambda\Theta(M))}
Ces deux lois conférent alors à E une strucure de \mathbb{R}-espace vectoriel isomorphe à \vec{E}
E est alors appelé espace affine réel de direction le \mathbb{R}-espace vectoriel \vec{E}
Pour M,N\in E on note \vec{MN}=\Theta(N)-\Theta(M) et on a alors la relation dite de chasles:
3$\fbox{\vec{MP}+\vec{PN}=\vec{MN}}

Résolution:
Dire que f et g définissent la mm structure affine sur E signifie à mon avis que:
3$\fbox{\forall M,N\in E\\f(N)-f(M)=g(N)-g(M)}
avec \vec{u}=f(M) et \vec{v}=f(N)
cela s'écrit aussi:
3$\fbox{\forall \vec{u},\vec{v}\in \vec{E}\\g(f^{-1}(\vec{u}))-g(f^{-1}(\vec{v}))=\vec{u}-\vec{v}}
et on voit que l'application h=gof^{-1}\hspace{5}\vec{E}\to\vec{E} vérifie:
3$\fbox{\forall \vec{u},\vec{v}\in \vec{E}\\h(\vec{u})-\vec{u}=h(\vec{v})-\vec{v}}
et en posant \vec{a}=h(\vec{0}) on a:
3$\fbox{\forall \vec{u}\in \vec{E}\\h(\vec{u})=\vec{u}+\vec{a}}
C'est donc bien une translation

Posté par
lolo5959
re : Géométrie affine 22-09-05 à 15:59

Un grand MERCI elhor_abdelali !

Je lance l'impression et je vais aller étudier cela en détail...

Merci aussi à Flo_64 d'avoir voulu m'aider.

lolo



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