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Géométrie affine

Posté par
kArMH 03-07-21 à 14:36

Bonjour,
S'il vous plaît j'ai un problème je n'ai pas compris l'énoncé du problème suivant:

Dans le plan affine euclidien, soient C_1, . . .,C_n, des cercles avec C_1 tangent à C_2 en un point I_1, . . . , C_{n-1} tangent à C_n en un point I_{n-1} et C_n tangent à C_1 en un point I_n. Pour tout point M_2 C_1 on considère le point M_2 où la droite (MI_1) recoupe le cercle C_2 (M_2 = I_1 si M_1 = I_1 ). De manière analogue, on associe à M_2 \in C_2 un point de C_3 , etc. Pour finir, on associe à M_n \in C_n le point M_0 \in C_1, où la droite (M_n I_n) recoupe C_1. Préciser la position du point M_0 par rapport à M sur le cercle C_1 .

Dans le problem : on considère le point M_2 où la droite (MI_1) recoupe le cercle C_2 . Est-ce que  M_2 est unique dans C_2 ?

Posté par
GBZMre : Géométrie affine 03-07-21 à 14:57

Bonjour,

À ton avis, si une droite coupe un cercle, combien y a-t-il de points d'intersection ?

Posté par
GBZMre : Géométrie affine 03-07-21 à 15:02

Pour ce qui est de l'exercice, essaie d'identifier la transformation du plan qui envoie M_1 sur M_2. Un dessin peu aider.
Une fois qu'on pense en termes de transformations, la réponse se voit assez clairement.

Posté par
kArMHre : Géométrie affine 03-07-21 à 15:15

Une droite coupe un cercle en deux point

Posté par
kArMHre : Géométrie affine 03-07-21 à 15:17

kArMH @ 03-07-2021 à 14:36

Bonjour,
S'il vous plaît j'ai un problème je n'ai pas compris l'énoncé du problème suivant:

Dans le plan affine euclidien, soient C_1, . . .,C_n, des cercles avec C_1 tangent à C_2 en un point I_1, . . . , C_{n-1} tangent à C_n en un point I_{n-1} et C_n tangent à C_1 en un point I_n. Pour tout point M\in C_1 on considère le point M_2 où la droite (MI_1) recoupe le cercle C_2 (M_2 = I_1 si M_1 = I_1 ). De manière analogue, on associe à M_2 \in C_2 un point de C_3 , etc. Pour finir, on associe à M_n \in C_n le point M_0 \in C_1, où la droite (M_n I_n) recoupe C_1. Préciser la position du point M_0 par rapport à M sur le cercle C_1 .

Dans le problem : on considère le point M_2 où la droite (MI_1) recoupe le cercle C_2 . Est-ce que  M_2 est unique dans C_2 ?

Posté par
kArMHre : Géométrie affine 03-07-21 à 15:24

Donc, nous avons  toujours M_2=I_1 et pour tout  i   on a M_{i+1}=I_i ?

Posté par
GBZMre : Géométrie affine 03-07-21 à 16:19

Bien sûr que non !
As-tu fait un dessin avec les deux premiers cercles C_1 et C_2 pour voir ce qui se passe ?

Posté par
verdurinre : Géométrie affine 04-07-21 à 15:44

Bonjour,
une image avec trois cercles.
Géométrie affine
Et une remarque :
il est prudent, au moins dans un premier temps, de supposer que les points de tangence Ik sont deux à deux distincts.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie affine 04-07-21 à 16:44

Bonjour,
Une figure avec n = 4 :
Géométrie affine

Posté par
GBZMre : Géométrie affine 04-07-21 à 17:58

Bonne fin de week-end !

Et pour mettre un peu de variété, vous pouvez aller voir ici :

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie affine 04-07-21 à 18:23

Joli !
Bonne fin de week-end à toi aussi GBZM

Posté par
GBZMre : Géométrie affine 04-07-21 à 18:26

Tout ça devrait permettre à kArMH de répondre à ma question : quelle est la transformation affine qui fait passer de M_1 à M_2 ? Une fois ceci vu, ça coule presque tout seul.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie affine 20-07-21 à 12:26

Bonjour,
Plus de deux semaines ont passé.
Pour ceux qui pourraient être intéressés, je propose une aide sous forme de deux figures :
Géométrie affine

Géométrie affine


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