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Géométrie analytique, équation cartésienne d'une sphère

Posté par
fannyperreux
25-03-09 à 20:01

Bonsoir, je vous remercie d'avance du temps que vous voudriez bien m'accorder.
Voici l'énoncé de l'exercuce qui me pose problème car je ne trouve pas quel raisonnement entreprendre:

Soit (0 ;i ;j ;k) un repère orthonormé de l'espace.
a) Démontrer que l'ensemble des points M (x ;y ;z) vérifiant x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 4*y + 2 = 0 est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon.
b) Le plan d'équation x - 2*y + 2*z + 1 = 0 est-il sécant à cette sphère?


J'ai la partie du cours concernant l'équation cartésienne d'une sphère:

Soit R un réél positif et I (xi +yi + zi) dans un repère orthonormé. Une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon R est: (x - xi)^2 + (y - yi)^2 + (z - zi)^2 = r^2.


_A partir de l'équation x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 4*y + 2 = 0, il faut que je trouve une équation de la forme (x - xi)^2 + (y - yi)^2 + (z - zi)^2 = r^2 ? Mais comment faire?

Je vous remercie d'avance.

Posté par
Skops
re : Géométrie analytique, équation cartésienne d'une sphère 25-03-09 à 20:05

Bonsoir,

x²-2x --> C'est le début d'une identité remarquable non ?

x²-2x=(x-1)²-1

Skops

Posté par
fannyperreux
re : Géométrie analytique, équation cartésienne d'une sphère 25-03-09 à 20:20

ah oui. L'énoncé m'a parut tellement compliqué que je n'ait pas pensé aux bases;
Bon je vais essayer.

Posté par
fannyperreux
re : Géométrie analytique, équation cartésienne d'une sphère 25-03-09 à 20:25

x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 4*y + 2 = 0
équivaut à: [(x - 1)^2] - 1 + [(y + 2)^2] - 1 + z^2 + 2 = 0

Posté par
fannyperreux
re : Géométrie analytique, équation cartésienne d'une sphère 25-03-09 à 20:27

[Equivaut à: (x - 1)^2] + [(y + 2)^2] + [(z - 0)^2] = 0

Posté par
fannyperreux
re : Géométrie analytique, équation cartésienne d'une sphère 25-03-09 à 20:30

Après j'écris, "donc l'équation est de la forme (x - xi)^2 + (y - yi)^2 + (z - zi)^2 = r^2
donc il s'agit de l'équation cartésienne de la sphère S de centre M et de rayon R = 0 ?

Posté par
fannyperreux
Géométrie analytique, Equation cartésienne d'une sphère. 25-03-09 à 20:49

Bonsoir, je vous remercie d'avance du temps que vous voudriez bien m'accorder.
Voici l'énoncé de l'exercuce qui me pose problème car je ne trouve pas quel raisonnement entreprendre:

Soit (0 ;i ;j ;k) un repère orthonormé de l'espace.
a) Démontrer que l'ensemble des points M (x ;y ;z) vérifiant x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 4*y + 2 = 0 est une sphère dont on déterminera le centre et le rayon.
b) Le plan d'équation x - 2*y + 2*z + 1 = 0 est-il sécant à cette sphère?


J'ai la partie du cours concernant l'équation cartésienne d'une sphère:

Soit R un réél positif et I (xi +yi + zi) dans un repère orthonormé. Une équation cartésienne de la sphère S de centre I et de rayon R est: (x - xi)^2 + (y - yi)^2 + (z - zi)^2 = r^2.


_A partir de l'équation x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 4*y + 2 = 0, il faut que je trouve une équation de la forme (x - xi)^2 + (y - yi)^2 + (z - zi)^2 = r^2 ? Mais comment faire?

Je vous remercie d'avance.

*** message déplacé ***

édit Océane : merci de ne pas poster ton exercice dans des topics différents, les rappels sont pourtant bien visibles.

Posté par
fannyperreux
re : Géométrie analytique, Equation cartésienne d'une sphère. 25-03-09 à 20:50

x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 4*y + 2 = 0
équivaut à: [(x - 1)^2] - 1 + [(y + 2)^2] - 1 + z^2 + 2 = 0
Equivaut à: (x - 1)^2] + [(y + 2)^2] + [(z - 0)^2] = 0

Après j'écris, "donc l'équation est de la forme (x - xi)^2 + (y - yi)^2 + (z - zi)^2 = r^2
donc il s'agit de l'équation cartésienne de la sphère S de centre M et de rayon R = 0 ?

*** message déplacé ***

Posté par
tortue
re : Géométrie analytique, Equation cartésienne d'une sphère. 25-03-09 à 20:56

bonsoir
je pense que tu as fait une erreur : (y-2)² -4 et non -1

*** message déplacé ***

Posté par
fannyperreux
re : Géométrie analytique, Equation cartésienne d'une sphère. 25-03-09 à 21:13

Oui oui, erreur bète; très bète ...
donc j'obtient
"x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 4*y + 2 = 0
équivaut à: [(x - 1)^2] - 1 + [(y + 2)^2] - 1 + z^2 + 2 = 0
équivaut à: (x - 1)^2] + [(y + 2)^2] + [(z - 0)^2] = 6
Donc l'équation est de la forme (x - xi)^2 + (y - yi)^2 + (z - zi)^2 = r^2
donc il s'agit de l'équation cartésienne de la sphère S de centre M et de rayon R = racine carrée de 6 ?

*** message déplacé ***

Posté par
fannyperreux
re : Géométrie analytique, Equation cartésienne d'une sphère. 25-03-09 à 21:16

Dites-moi si je me trompe mais je crois avoir résout la première partie de la question. La deuxiàme partie de l'exercice est: b) Le plan d'équation x - 2*y + 2*z + 1 = 0 est-il sécant à cette sphère?

Le raisonnement est-il de chercher les solutions du système
{x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 4*y + 2 = 0
{x - 2*y + 2*z + 1 = 0
???

*** message déplacé ***

Posté par
tortue
re : Géométrie analytique, Equation cartésienne d'une sphère. 25-03-09 à 21:22

je ne comprends pas, tu as écrit la même chose !

*** message déplacé ***

Posté par
fannyperreux
re : Géométrie analytique, Equation cartésienne d'une sphère. 25-03-09 à 21:29

J'ai corrigé et terminer le raisonnement. Regardez :
""x^2 + y^2 + z^2 - 2*x + 4*y + 2 = 0
équivaut à: [(x - 1)^2] - 1 + [(y + 2)^2] - 4 + z^2 + 2 = 0
équivaut à: [(x - 1)^2] + [(y + 2)^2] + z^2 - 3 = 0
équivaut à: (x - 1)^2] + [(y + 2)^2] + [(z - 0)^2] = 3
Donc l'équation est de la forme (x - xi)^2 + (y - yi)^2 + (z - zi)^2 = r^2
donc il s'agit de l'équation cartésienne de la sphère S de centre M et de rayon R = racine carrée de 3"
C'est bon maitenant?


Sinon pour la question petit b, j'aimerais savoir comment on peut prouver qu'une sphère et un plan sont secants SVP...

*** message déplacé ***

Posté par
fannyperreux
re : Géométrie analytique, équation cartésienne d'une sphère 26-03-09 à 20:53

Merci à tous, c'est bon, c'est corrigé en classe.
Désolée, je m'étais trompé de chapitre et je n'ait pas réussit à supprimer le topic que j'avais créé dans le mauvais chapitre.
Bonsoir à tous.



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