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géometrie - cercles

Posté par
pppa
08-09-14 à 17:46

Bonjour

Pouvez-vous svp me fournir des pistes pour résoudre l'exercice suivant :

Soient AB et CD les diamètres des cercles
, de centre O et de rayon R
', de centre O' et de rayon R',

ces diamètres étant des segments de la droite (OO').

Montrer que le pied H de l'axe radical de ces deux cercles vérifie les relations suivantes :

\dfrac{\bar{HA}}{\bar{HD}} = \dfrac{\bar{HC}}{\bar{HB}} = -\dfrac{\bar{AC}}{\bar{BD}}

et

\dfrac{\bar{HA}}{\bar{HC}} = \dfrac{\bar{HD}}{\bar{HB}} = -\dfrac{\bar{AD}}{\bar{BC}}.

En déduire une construction de H et de l'axe radical.

J'ai essayé de partir d'un point M de l'axe radical qui se projette orthogonalement en H sur (OO') pour appliquer la relation dans le triangle MAB : MA^2 - MB^2  = 2.\bar{AB}.\bar{OH}
et de façon similaire dans le triangle MCD
ou de poser MO² - R² = MO'² - R'²
mais je n'aboutis pas.

Est-il nécessaire de poser l'existence d'un point M de l'axe radical ?

Sinon, quelles propriétés utiliser ?

Merci par avance pour votre aide.

Posté par
mathafou Moderateur
re : géometrie - cercles 08-09-14 à 18:33

Bonjour,

H lui-même fait parfaitement office de point M ...

MO² - R² = MO'² - R'²
devient directement
HO² - R² = HO'² - R'²
et ensuite c'est "bidouiller" avec OA = OB = R et O'C = O'D = R'

d'ailleurs la relation HA.HB = HC.HD s'obtient directement si on reprend la définition de la puissance d'un point (la définition c'est puissance = MP.MQ = pour toute sécante MPQ, et oui c'est aussi égal à MO² - R² mais bof ... la relation par le produit sur une sécante quelconque est généralement bien plus utile)

rappel : et aussi si a/b = c/d alors
a/b = c/d = (au + cv)/(bu + dv) pour tous u et v réels (ou presque)

ceci donne le 3ème terme des relations demandées

Posté par
pppa
re : géometrie - cercles 08-09-14 à 18:45

Citation :
la relation HA.HB = HC.HD s'obtient directement si on reprend la définition de la puissance d'un point (la définition c'est puissance = MP.MQ = pour toute sécante MPQ,


Très bonne piste, merci mathafou



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