Bonjour
Pouvez-vous svp me fournir des pistes pour résoudre l'exercice suivant :
Soient AB et CD les diamètres des cercles
, de centre O et de rayon R
', de centre O' et de rayon R',
ces diamètres étant des segments de la droite (OO').
Montrer que le pied H de l'axe radical de ces deux cercles vérifie les relations suivantes :
et
.
En déduire une construction de H et de l'axe radical.
J'ai essayé de partir d'un point M de l'axe radical qui se projette orthogonalement en H sur (OO') pour appliquer la relation dans le triangle MAB :
et de façon similaire dans le triangle MCD
ou de poser MO² - R² = MO'² - R'²
mais je n'aboutis pas.
Est-il nécessaire de poser l'existence d'un point M de l'axe radical ?
Sinon, quelles propriétés utiliser ?
Merci par avance pour votre aide.
Bonjour,
H lui-même fait parfaitement office de point M ...
MO² - R² = MO'² - R'²
devient directement
HO² - R² = HO'² - R'²
et ensuite c'est "bidouiller" avec OA = OB = R et O'C = O'D = R'
d'ailleurs la relation HA.HB = HC.HD s'obtient directement si on reprend la définition de la puissance d'un point (la définition c'est puissance = MP.MQ = pour toute sécante MPQ, et oui c'est aussi égal à MO² - R² mais bof ... la relation par le produit sur une sécante quelconque est généralement bien plus utile)
rappel : et aussi si a/b = c/d alors
a/b = c/d = (au + cv)/(bu + dv) pour tous u et v réels (ou presque)
ceci donne le 3ème terme des relations demandées
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