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géométrie - cercles

Posté par
pppa
14-09-14 à 19:25

Bonjour

pouvez-vous svp m'aider à terminer l'exercice suivant :

Soient deux cercles concentriques de centre commun O, de rayons resp. R et r.
Par un point fixe P du petit cercle, on mène une corde mobile PA et la corde BC du grand cercle, qui reste perpendiculaire en P à PA, coupe le petit cercle en D.

1/ Montrer que le centre de gravité du triangle APD est fixe  et qu'il en est de même de celui du triangle ABC  (FAIT ; les deux triangles ont le même centre de gravité)

2/ On termine le triangle APBS ; quel est le lieu du point S ( FAIT, c'est le grand cercle )

3/ Montrer que S, O et C sont alignés (FAIT) et
  (c'est ça que je ne parviens pas à démontrer) calculer PA² + PB² + PC² en fonction de R et de r.


Puisque S, O et C sont alignés et que S et C sont sur le grand cercle, de même que B, [SC] est un diamètre du grand cercle, et donc SBC est un triangle rectangle en B.
Par construction du rectangle APBS, on a PA = BS

Donc j'écris que PA² + PB² + PC² = BS² + [(PB + PC)² - 2 PB.PC] = 4R² - 2 PB.PC.

Comment traiter le produit PB.PC en fonction de r et R ?

J'ai essayé avec les produits et carrés scalaires en posant
PA^2 = \vec{PA}^2 = (\vec{PO} + \vec{OA})^2 = PO² + OA² + 2.\vec{PO}.\vec{OA} = 2r^2 + 2r^2.cos \widehat{POA}
et de même avec \vec{PB} et \vec{PC}.

J'arrive à 4r^2 + 2R^2 + 2r.(r cos \widehat{POA} + R cos \widehat{POB} + R cos \widehat{POC})

mais quand je vérifie sur ma figure (géogébra) je ne retrouve pas du tout l'égalité demandée.

Merci de m'aider ; ci-dessous une figure simplifiée

géométrie - cercles

Posté par
Priam
re : géométrie - cercles 14-09-14 à 21:09

PB.PC , c'est la puissance du point P par rapport au grand cercle.
Elle est égale à  PO² - R² = r² - R² .

Posté par
pppa
re : géométrie - cercles 15-09-14 à 08:36

D'accord, merci Priam



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