Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau seconde
Partager :

Géométrie - cercles

Posté par
cerveaulogik
06-04-20 à 12:36

Bonjour,
Voici un problème de géométrie (encore du Lebossé-Hémery, chapitre Arcs Capables) sur lequel je bloque :

Deux cercles O et O' se coupent en A et B. Une sécante variable A coupe le premier en C et le second en D. Les rayons CO et DO' se coupent en M.

1) Montrer que les angles CBD et OMO' sont constants et égaux à l'angle OBO'. Lieu du point M.

2) On construit le centre \omega du cercle BCD. Comparer les angles O\omega O' et CBD et montrer que \omega décrit le lieu précédent.

3) On mène une deuxième sécante C'AD'. CC' et DD' se coupent en E. Comparer les angles C et D du quadrilatère BCED à l'angle BAC'. En déduire que les cercles CDE et C'D'E passent par B, et que leurs centres sont sur le cercle OBO'.


Je bloque à la question 1. J'ai réussi à montrer que l'angle CBD est constant par les considérations d'angles inscrits, mais je n'arrive pas à faire de même pour l'angle CMD.
Mon idée est de montrer que les angles BCO et BDO' sont toujours égaux, mais je ne vois pas comment y parvenir...

Géométrie - cercles

Merci d'avance !

Posté par
mathafou Moderateur
re : Géométrie - cercles 06-04-20 à 13:03

Bonjour,

des angles intéressants à considérer, avec quelques segments ajoutés.

Géométrie - cercles

Posté par
cerveaulogik
re : Géométrie - cercles 06-04-20 à 14:17

Bonjour,
Merci pour la figure. Sur celle-ci, traçons la parallèle à (CD) passant par M. En formant des angles alternes internes et en utilisant les égalités d'angles des bases des triangles isocèles  CO'A et AOD, on voit que OMO' = O'AO = OBO', d'où le résultat.


Cependant, trouver le lieu géométrique me semble impossible sans utiliser des angles de droites orientés. En effet, lorsque je fais varier la droite passant par A sur GeoGebra, le point M ne  décrit pas un arc comme je m'y attendais, mais un cercle tout entier (ce qui signifie qu'à certaines positions, l'angle OMO' n'est pas égal à OBO', mais à son supplémentaire)! Pourtant, les auteurs ne parlent pas d'angles orientés dans l'énoncé.

Pour la question 2), voici la figure :

Géométrie - cercles

On trace les droites (\omega O)  et (\omega O'). Elles coupent les segments BC et BD respectivement en I et J, et ce nécessairement de façon perpendiculaire par définition de \omega. Dans cette configuration, le quadrilatère IBJ\omega est inscriptible. Là se pose également l'étude de la position de démontrer que \omega décrit un cercle tout entier, et non simplement un arc.

Posté par
cerveaulogik
re : Géométrie - cercles 06-04-20 à 14:18

Je me demande comment les élèves de l'époque y arrivaient ... sans nos logiciels de géométrie en plus!

Posté par
mathafou Moderateur
re : Géométrie - cercles 06-04-20 à 14:37

angles orientés versus angles "ordinaires" :
si on ne veut pas utiliser des angles orientés, il faudra décomposer la démonstration elle même en différents cas traités séparément .

Géométrie - cercles

Géométrie - cercles

cerveaulogik
les "élèves de l'époque" faisaient bien plus de géométrie "déductive" que de nos jours.

Posté par
cerveaulogik
re : Géométrie - cercles 06-04-20 à 15:27

Bonjour,
Avec les angles orientés de droites, cela me semble en effet beaucoup plus simple :

(O'M, OM) = (CM, CD) + (DC, DM) = (CO', CA) + (DA, DO) = (AC, AO') + (AO, AD)

car AO'C isocèle en O' implique (CO', CA)  = (AC, AO') et (DA, DO)+(AO, AD) pour AOD en O.

Ensuite :  (AC, AO') + (AO, AD) = (AO, AD) + (AD, AO')\text{ car A, C, D alignés}


Ce qui vaut donc (AO, AO') = (BO', BO), d'où le résultat. Voilà qui me satisfait en effet. J'ai simplement besoin d'un peu d'entraînement pour les manier car on n'enseigne plus les angles orientés de droites.

Plus fort encore ! Si M est un point du lieu, i.e. si (O'M, OM) = (O'B, OB) = (OA, O'A), alors en définissant les points C et D par rapport à M, montrons que A, C et D sont alignés :

(AC, AD) = (AC, O'M) + (O'M, OM) + (OM, AD) = (AC, CO') + (O'B, OB) + (OD, AD)
 =(AO', AC) + (OA, O'A) + (AD, AO) = (AD, AC) \Rightarrow (AC, AD) = 0

D'où le résultat.

En effet, décomposer la démonstration en plusieurs cas selon l'ordre des points me
semble chaotique et ferait intervenir un niveau de rigueur presque axiomatique, ce qui me déplaît (les auteux eux-mêmes ne font pas intervenir toutes les considérations d'ordre des points de Hilbert).

Posté par
ty59847
re : Géométrie - cercles 06-04-20 à 15:32

Attention, dans l'énoncé, on parle des rayons CO et DO'.
Dans le 1er dessin, on a inversion entre O et O'.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1489 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !