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Géométrie - cercles
Bonjour,
Voici un problème de géométrie (encore du Lebossé-Hémery, chapitre Arcs Capables) sur lequel je bloque :
Deux cercles O et O' se coupent en A et B. Une sécante variable A coupe le premier en C et le second en D. Les rayons CO et DO' se coupent en M.
1) Montrer que les angles CBD et OMO' sont constants et égaux à l'angle OBO'. Lieu du point M.
2) On construit le centre du cercle BCD. Comparer les angles
et CBD et montrer que
décrit le lieu précédent.
3) On mène une deuxième sécante C'AD'. CC' et DD' se coupent en E. Comparer les angles C et D du quadrilatère BCED à l'angle BAC'. En déduire que les cercles CDE et C'D'E passent par B, et que leurs centres sont sur le cercle OBO'.
Je bloque à la question 1. J'ai réussi à montrer que l'angle CBD est constant par les considérations d'angles inscrits, mais je n'arrive pas à faire de même pour l'angle CMD.
Mon idée est de montrer que les angles BCO et BDO' sont toujours égaux, mais je ne vois pas comment y parvenir...
Merci d'avance !
Bonjour,
Merci pour la figure. Sur celle-ci, traçons la parallèle à (CD) passant par M. En formant des angles alternes internes et en utilisant les égalités d'angles des bases des triangles isocèles CO'A et AOD, on voit que OMO' = O'AO = OBO', d'où le résultat.
Cependant, trouver le lieu géométrique me semble impossible sans utiliser des angles de droites orientés. En effet, lorsque je fais varier la droite passant par A sur GeoGebra, le point M ne décrit pas un arc comme je m'y attendais, mais un cercle tout entier (ce qui signifie qu'à certaines positions, l'angle OMO' n'est pas égal à OBO', mais à son supplémentaire)! Pourtant, les auteurs ne parlent pas d'angles orientés dans l'énoncé.
Pour la question 2), voici la figure :
On trace les droites et
. Elles coupent les segments BC et BD respectivement en I et J, et ce nécessairement de façon perpendiculaire par définition de
. Dans cette configuration, le quadrilatère
est inscriptible. Là se pose également l'étude de la position de démontrer que
décrit un cercle tout entier, et non simplement un arc.
Je me demande comment les élèves de l'époque y arrivaient ... sans nos logiciels de géométrie en plus!
angles orientés versus angles "ordinaires" :
si on ne veut pas utiliser des angles orientés, il faudra décomposer la démonstration elle même en différents cas traités séparément .
cerveaulogik
les "élèves de l'époque" faisaient bien plus de géométrie "déductive" que de nos jours.
Bonjour,
Avec les angles orientés de droites, cela me semble en effet beaucoup plus simple :
car AO'C isocèle en O' implique et
pour AOD en O.
Ensuite :
Ce qui vaut donc , d'où le résultat. Voilà qui me satisfait en effet. J'ai simplement besoin d'un peu d'entraînement pour les manier car on n'enseigne plus les angles orientés de droites.
Plus fort encore ! Si M est un point du lieu, i.e. si , alors en définissant les points C et D par rapport à M, montrons que A, C et D sont alignés :
D'où le résultat.
En effet, décomposer la démonstration en plusieurs cas selon l'ordre des points me
semble chaotique et ferait intervenir un niveau de rigueur presque axiomatique, ce qui me déplaît (les auteux eux-mêmes ne font pas intervenir toutes les considérations d'ordre des points de Hilbert).
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