Bonjour,

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Quasiment jamais.

Quand c'est le cas, l'absence des centres n'est pas un problème puisque l'intersection des médiatrices de deux cordes non parallèles les redonne.
Ensuite, il suffit de choisir un point quelconque du cercle extérieur et de construire ses deux tangentes au cercle intérieur pour avoir ensuite les deux autres sommets sur le cercle extérieur.

Heu pardon, je voulais dire : au compas seulement

Bonjour dhalte,

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Citation :
Quasiment jamais.

Aurais-tu un peu plus précis ou quasiment pas ?

Pour la construction au compas :

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Là aussi,il existe un résultat bien connu qui énonce que les constructions à la règles et au compas peuvent être effectuées au compas uniquement.
Wikipédia : Georg Mohr (1672) puis Lorenzo Mascheroni (1797) prouveront que toute construction à la règle et au compas peut se réaliser au compas seul.

Et puis dernière rectification, pour prévenir un "Hé, blang, tu ne connais pas le théorème de Mascheroni ou le problème de Napoléon ?", remplacer la deuxième question par :

En cas d'existence, proposer une construction au compas seul, la plus économique possible, des sommets d'un des triangles solutions.

Bonjour blang

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Deux remarques pour faire avancer le schmilblick:

1) On peut retrouver le centre d'un cercle en utilisant le compas seul (théorème de Napoléon; je dois avoir quelque part une démonstration assez courte basée sur l'inversion)
2) Si le triangle existe, le premier sommet peut être choisi arbitrairement sur le cercle extérieur (théorème de Poncelet).

Ah ben qu'est-ce que je disais
dhalte, tu as posté ton message de 10:00 pendant que je rédigeais mon message de 10:02.

Et sinon tu as plus précis qu'à 9:16 ?

Toutes mes excuses pour ces courriers qui se croisent.

Bonjour rogerd

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Pour ta remarque 1), je t'ai répondu par anticipation à 10:02
Pour ta remarque 2), tout-à-fait

Question sans doute idiote:

Peut-on retrouver le milieu d'un segment avec le compas seul?

oui

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Martin Gardner, Mathematical Circus, Knopf, 1979, p. 230.

Merci dhalte

@rogerd :

Si, comme moi, tu ne possèdes pas le bouquin de dhalte :

Ah, internet, ...

Condition d'existence :

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Si il y a une solution, alors on a vu que n'importe quel point du cercle circonscrit permet de construire le triangle.
Partons alors du point I qui est sur ce cercle extérieur et sur la demi droite [A,B)
Appelons F et G les autres sommets du triangle s'il existe et E le milieu de [FG].
IFG est isocèle de sommet I et E est sur la droite (AI).
Une condition nécessaire et suffisante de l'existence de la solution est que le point B soit alors sur la bissectrice de l'angle EFI

salut!

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moi ca me semble évident que non, mais pour l'expliquer... si on prend deux cercle de me^me centre, et les rayons assez proches, on le voit bien, j'irai chercher mon bouquin tout a l'heure e je trouverai bien des relation entre els deux rayons^^

@dhalte : tu attaches ton fichier *.gif et dans ton blanké tu écris [img1] à l'endroit où tu veux insérer l'image.

scorngnieugnieu, le latex

Condition d'existence

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Soient R le grand rayon, r le petit rayon, b la distance entre les centres, alors on a la relation


équivalente à




En rouge, le rayon en fonction de la position de O'

Pour la construction à la règle et au compas, I s'impose de lui-même, mais pour le reste, c'est laborieux. Peut-être y a-t-il une astuce ?
Et alors, la construction au compas seul... Mieux vaut accepter le constat que c'est "théoriquement" possible.

@dhalte :

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C'est ça. Ton graphique est assez parlant.

Pour la relation ,  tu ne donnes pas quelques menus détails ?

Pour la construction au compas seul, je t'avoue que c'est un défi, une question ouverte

Pour les détails, j'ai deux méthodes ;

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mais elles passent toutes deux par des calculs assez lourds.
elles ont toutes deux en commun la remarque (pas facile à démontrer) que s'il y a un triangle qui répond à la question, alors on peut en construire un autre à partir de n'importe quel point du cercle extérieur. Alors je choisis le point I sur la demi-droite [OO')

La première méthode consiste à fixer initialement le triangle et la distance b=[OO'], de calculer E en fonction de r et de calculer la relation entre r et b et R pour que le cercle intérieur devienne cercle inscrit. je passe pour cela par les angles, demi-angles, leurs cosinus, tangentes, etc...

La seconde consiste au contraire à partir du cercle inscrit et de calculer position et rayon du cercle circonscrit. Elle est un peu moins calculatoire mais ensuite, il est un peu plus difficile d'arriver à la relation finale.