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Geometrie dans l espace
salut a tous !
Je suis en 1ereS et ma prof m'a encore filé un DM bien dur ....
Voici le probleme :
Dans un repere orthonormal de l'espace on donne les points :
A(3;0;0) B(3;3;0) C(0;0;3)
Soit M un point de [OB] et I son projeté orthogonal sur [OA]. Soit K le milieu de [OA] et J le symetrique de I par rapport a K. Soit N le point de [AC] qui se projette orthogonalement en J sur [OA].
1)Faire une figure.
2)On pose AI=x, avec x
[0;3]
Claculer les coordonnées de M et N en fonction de x.
3)Montrer que MN²=6(x-2)²+3
En deduire la valeur x0 de x pour que la distance MN soit minimale.
4)On pose x=x0.
Calculer alors MN²,AN²,AM².
En deduire que les droites (MN) et (AC) sont perpendiculaires.
5)Démontrer de maniere analogue que (MN) et (OB) sont perpendiculaires.
6) Enoncer la propriété demontrée dans cet exercice.
Alors moi j'ai réussi la figure (c'est deja bien) g trouvé ke M(x;x;0) et N(x;0;x) j'ai reussi a le demontrer (meme si sa se voyais sur la figure) grace aux coordonnées des vecteurs. (dites moi si vous voulez que je vous dise comment j'ai fait).
mais apres pour la 3) je suis vraiement coincé je vois pas du tout comment faire et pourtant g essayé !
cette formule je ne sais pas du tout d'ou elle sort .. apres j'ai une petite idée pour x0=1,5 mais bon faut le demontrer ...
voila j'espere que vous y arriverez mieux que moi (et plus rapidement parce que c'est por demain ...) enfin bon merci d'avance 
++ Bengrunt
Bonjour,
1) je suppose que tu as déjà fait la figure.
1) Les coordonnées de M sont (xM,yM,0) et celles de N sont (xN,0,zN)
On a : xM=xI=xA-x=3-x
M appartient à [OB] signifie que yM=xM=3-x
Soit si x=0, M=B et I=A et si x=3, M=O et I=O
Pour N maintenant : xN=xJ=x
Considérons les triangles suivants du plan xOz : OAC et JAN : on peut écrire d'après Thalès que zN/zC=(3-xN)/xA
d'où zN=(3-xN)*zC/xA càd zN=xN=3-x
Si x=0, I=A , J=O et N=C et si x=3 , I=O, J=A et N=A
3) MN=(x-3+x,-3+x,3-x)=(2x-3,x-3,3-x)
MN2=(2x-3)2+(x-3)2+(3-x)2[/sup]
càd MN[sup]2=(4x2-12x+9)+(x2-6x+9))+(x2-6x+9)
MN2=6x2-24x+27
MN2=6(x2-4x+4)+3
MN2=6(x-2)2+3
Puisqu'il s'agit d'une somme de 2 termes positifs, MN sera minimisé pour x0=2.
4)Soit x=x0=2
MN2=3
AM=(3-x0-3,3-x0,0)=(-2,1,0) d'où AM2=4+1+0=5
AN=(x0-3,0,3-x0)=(-1,0,1) d'où AN2=1+0+1=2
Puisque N est l'intersection entre MN et AC, c'est en N que doit se trouver l'angle droit du triangle ANM et qu'on doit vérifier d'après Pythagore que AN2+MN2=AM2
Ce qui signifie que 2+3=5, ce qui est vrai.
5) et 6) Je te laisse finir.
Bon courage et à bientôt
Merci bien c'est aussi ce que j'ai fini par trouver !
par contre j'ai un autre petit probleme c'est que dans la 4 j'arrive a demontrer que (MN) et (AC) sont perpendiculaires mais le probleme c'est que apres dans la 5) ils demandent de montrer que (MN)et (OB) sont perpendiculaires or d'apres moi (je suis pas sur mais sa me semble logique) (CA) et (OA) appartiennent au meme plan (zOx) et ce plan est perpendiculaire au plan (yOx) car c'est un repere orthonormal.
Donc (OB) appartient a (yox) cependant (OB) est la bissectrice de l'angle yox (je ne l'ai pas démontré mais sa me semble bien etre sa) donc (OB) et (MN) ne PEUVENT PAS etre perpendiculaires d'apres sa ...
Le blem c'est que il faut demontrer qu'elles le sont ... mais jdoit me tromper ... faut que j'arrete le pif sa marche pas au bac 
Bonsoir,
5) MN et OB se coupent en M.
Considérons le triangle OMN.
Si ce triangle est rectangle en M , alors :
MN2+OM2=ON2
ON2=22+0+(3-2)2=5
OM2=(3-2)2+]=(3-2)2+0=2
Donc la relation de Pythagore est bien vérifiée et MN perpendiculaire à OB.
6) Doit-on conclure que la distance la plus courte entre 2 droites non sécantes de l'espace est celle portée par une troisième droite orthogonale à ces 2 droites?
Qui peut nous le confirmer?
A bientôt
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