Bonsoir,je m'interesse à un exercice de géométrie dans l'espaceet j'aimerais poser plusieurs questions.
Soit P1,P2,P3,P4 les plans d'équations respectives
x+y=1, y+z=1; z+x=1; x+3y+z=0
et M le point de coordonnées (1,1,a).
Déterminer l'ensemble des valeurs de a telles que les symétriques de M par rapport aux quatre plans Pi soient coplanaires.
Voici mon travail. J'ai cherché les coordonnées des symétriques en résolvant des systemes d'équation (en disant que le milieu de MMi passait par P et que MMi.u=0 avec u vecteur directeur de P).
Voici mes résultats:- M1(0,0,-a);M2(-1,1-a,0) M3(1-a,-1,0)
M4(-2/11.a+3/11;-6/11.a-13/11; 9/11.a-8/11)
Je m'aprete a ecrire que les points sont coplanaires si et seulement si les vecteurs M1M2 M1M3 et M1M4 sont coplanaires c'est a dire Det(M1M2;M1M3;M1M4)=0
Est ce que quelqu'un aurait la gentillesse de confirmer mes résultats ou de me dire s'il y'a un problème quelques part?
Merci pour votre aide
Bonjour Laurierie;
attention il faut 2 vecteurs linéairement indépendants pour diriger un plan:
le milieu de MMi passait par P et que MMi.u=0 avec u vecteur directeur de P
mais tu peux considérer un vecteur normal au plan et dire que ^ (produit vectoriel)
Sauf erreur...
Salut elhor et merci pour ta réponse. Je crois avoir trouvé encore plus simple: il suffit de dire que MMi est colinéaire au vecteur normal du plan, puis que le milieu passe par le plan. On ecrit une représentation paramétrique de MMi, on remplace tout l'expression du plan, et le on peut en déduire les coordonnées de MMi.
Merci encore pour ta réponse
Attention, les coordonnées de M1,M2 M3 sont fausses:
M1(0, 0, a) M2(1, 1-a, 0) M3(1-a, 1, 0) M4((3-2a)/11, -(13+6a)/11, (9a-8)/11)
dans le plan z=0 la droite M2M3 a pour équation x+y=2-a, donc le plan M1M2M3 a pour équation x/(2-a)+y/(2-a)+z/a=1
Il reste à écrire que M4 appartient à ce plan...
Oui je sais mes coordonnées étaient fausse et j'ai refait mon calcul avec l'autre méthode,je trouve bien comme toi
Néanmoins pour la derniere partie je bloque: Je trouve que les 4 points sont coplanaires si et seulement si a=0 en disant que Det(M1M2;M1M3;M1M4)=0.
Est ce que quelq'un peut me confirmer si c'est juste? Merci
Pour a=0 M2=M3 donc les quatre points qui ne sont que trois sont évidemment coplanaires.
Sinon, en reportant les coordonnées de M4 dans l'équation du plan M1M2M3 on obtient une équation du second degré en a. Je n'ai pas vérifié si elle a des solutions réelles, mats je crois que oui...
je pense qu'il y'a d'autres solutions mais je ne la trouve pas: avec la méthode que j'ai utilisée je tombe sur l'équation -6a^3-6a²-16a=0 donc qu'une solution, et ca me parait bizare...
Il s'agit de l'équation -6a^3-6a²-16²=0, tu as oublié un - . J'ai refait le calcul une dixaine de fois. Rassure moi:
M1M2(1,1-a,-a
M1M3(1-a,1,-a)
M1M4(3-2a)/11, -(13+6a)/11 , (-2a-8)/11 ) ??
Je n'ai plus que qu'a faire le déterminant de tout ca et je trouve bien -6a^3-6a²-16a.
Tu peux confirmer s'il te plait? Merci encore
Je pense que je vais clore le débat si les coordonnées des points M1, M2, M3 et M4 sont justes.
En effet, .
Et ce trinôme a un discriminant négatif.
Donc, le problème n'a pas de solution.
Salut jacques1313, le probleme à bien une solution: si a=0, les 4 points sont coplanaires. Bonne soirée
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