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Niveau terminale
Géométrie dans l'espace
Posté par Hebidoku
Bonjour,
Il y a ce début d'exercice auquel je ne vois pas du tout comment répondre
L'espace est muni d'un repère orthonormal (O, i, j, k)
On désigne par a,b,c,d quatre réels trels que le vecteur n=ai+bj+ck soit différent du vecteur nul. On appelle P le plan d'équation ax+by+cz+d=0
Démontrer que le vecteur n est un vecteur normal au plan P, c'est à dire que le vecteur n est orthogonal à tout vecteur AB où A et B sont deux points quelconques du plan P.
Alors je me suis demandée s'il fallait créer les points A(x1;y1;z1) et B(x2;y2;z2) pour faire n.AB pour avoir une orthogonalité mais je ne vois pas comment avec des lettres.
D'accord mais en faisant ça, ça donne :
AB(x2-x1;y2-y1;z2-z1)
donc n.AB=(a;b;c).(x2-x1;y2-y1;z2-z1)=a*(x2-x1)+b*(y2-y1)+c*(z2-z1)
Mais je ne vois pas comment prouver l'orthogonalité si ça ne s'annule pas.
Donc on en déduit que comme A et B font partis du plan P
les coordonnées de AB vérifient l'équation et donc ça prouve que n et AB sont orthogonaux
donc que n est un vecteur normal au plan P ?
Il faut tout de même faire le calcul.
Ecris les relations qui traduisent le fait que les points A et B appartiennent au plan P et combine-les à l'expression du produit scalaire que tu as écrite à 15h40.
Mais justement c'est le calcul que je ne comprends pas
parce que :
a(x2-x1)+b(y2-y1)+c(z2-z1)=ax2-ax1+by2-by1+cz2-cz1
mais après je ne peux rien faire.
Oui, c'est l'expression développée du produit scalaire.
Maintenant, écris que le point A appartient au plan P, et de même pour le point B.
Mais je veux dire que de faire le calcul et d'écrire que les points A et B appartiennent à P suffit à prouver que n est vecteur normal au plan P ?