Bonjour,
exprime le volume du cône en fonction de AO (je suppose que AO est le centre de la base du cône)
pour trouver l'aire de la base, il faut appliquer le théorème de pythagore...

la formule est 1/3 * b* h si ma mémoire est bonne non ?
ps: serez vous là demain pour m'aider je pars bientôt ?

c'est bien ça.
demain soir, j'essaierai d'être là, mais j'aurais moins de temps.
(Mais t'inquiète pas, il y à d'autre personnes sur le forum, tu fait un petit UP si il le faut pour faire remonter ton topic et il y aura bien quelqu'un pour te répondre.

la hauteur est AO mais la base c'est quoi ?

la base d'un cône, c'est le cercle euh... à la base quoi...

ca fait donc 1/3 * x qui esr AO * r² ?

IL y à un truc que je ne comprend pas... la hauteur est A0? pourquoi le cône aurait son sommet, où le centre de sa base forcément en O?

La sphère est dans un cône ABC, de sommet A. La hauteur est donc AO ?

Bonsoir,

A mon avis :

la hauteur du cone c'est AH, pas OA

exprimer r et h en fonction de x.
(Pythagore, triangles ATO et AHB semblables etc)

Oups...
J'ai confondu circonscrit avec inscrit...
Je ne vois pas en quoi les triangles ATO et  AHB sont semblables, TO et HB ne sont pas parallèles.
par contre, on peut déterminer l'angle TAO.

Oui, et si tu écris (juste écrire, pas calculer) que la tangente est égale parce que l'angle est le même dans les deux triangles tu obtiens ...
et en écrivant que le cosinus est égal pour la même raison tu obtiens que ...
ce qui en rassemblant les deux est très précisément la définition de "semblables" : les côtés dans le même rapport.

ce n'est effectivement plus au programme ces "cas de similitude des triangles"
Ici ces deux triangles ont deux angles respectivement égaux (donc le troisième aussi) : angle en A le même, angle droit

le "coup de passer par la trigo" pour le justifier de nos jours est en fait une entourloupe, parce que justement le principe même des rapports trigo c'est de considérer que les triangles rectangles ayant les mêmes angles sont justement .... semblables !! sinon rien ne permettrait de justifier que la tangente définie dans un triangle rectangle ne serait pas indépendante de la taille du triangle.

donc la définition même de tangente d'un angle en collège est basée sur un cercle vicieux, si on considère que les triangles semblables sont basés sur les fonctions trigo qui sont basée sur les triangles semblables.

bonjour, merci de votre aide.

Donc j'ai V= 1/3*AH*OT ?

( oui la figure est la même )

le rayon du cone c'est HB
le volume c'est 1/3 HB² * AH (réviser la formule du volume d'un cone !!!)
OT c'est le rayon de la sphère (constante que j'ai appelé R comme dans l'énoncé)

tout est dans le calcul de HB² (des trucs avec Pythagore et les fameux triangles semblables) et AH "en fonction de x"
(AH = AO + OH = R+x trivialement)

puis obtenir ainsi le volume en fonction de x (et de R puisqu'on ne donne pas la valeur numérique, juste que c'est une constante, ce qui aura son importance quand on calculera plus tard la dérivée du volume)

je n'ai jamais vu la notion de triangles semblables ( c'est qu'ils doivent avoir la même forme je pense ) mais si je dois calculer HB²:

AH² = AB² + HB²
AH²-AB² = HB²
( R+x)²-AB² = HB²7

Est-ce cela ? si oui je fais quoi ?

Tu dois exprimer que "les triangles sont semblables" : l'un est une réduction de l'autre, intuitivement ils ont "la même forme", tout à fait. le seul cas de triangles semblables qui reste au programme est le cas très particulier de Thalès ! mais c'est une propriété bien plus générale que Thalès !!

c'est à dire en fait compte tenu de l'absurdité des programmes actuels, exprimer les fonctions trigo dans chacun des deux triangles rectangles pour obtenir l'égalité des rapports de leurs côtés, sans parler de "triangles semblables" puisque c'est interdit (en France) :
AO/AB = OT/BH
ici exprimer le cosinus suffira à obtenir ce qu'on veut

cela permettra d'exprimer AB en fonction du reste.
et donc en remplaçant dans l'expression précédente (R+x)²-AB² = HB², il ne te restera qu'une expression avec HB, R et x seulement, qui donnera HB² en fonction de x et R seulement.

pouvez-vous me donner une piste pour l'expression avec le cosinus... j'vois pas trop ce qu'il faut faire

la rédaction correcte est de nos jours :

justifier que les triangles sont rectangles, puis
dans le triangle AOT cos(A) = .../...
dans le triangle ABH cos(A) = .../...
donc .../... = .../...
(tout en lettres)

il ne reste plus qu'à faire "le produit en croix" (encore une invention moderne débilitante) pour obtenir la relation sous la forme qu'on veut.

cos (A) = AO/AT
cos (A) = AH/AB
donc AO/AT = AH/AB

AO*AB = AT*AH ?

Je reviens vers 15h30 pour je l'espere terminer cet exercice avec vous.

désolé je me suis trompé (ce détour absurde par la trigo rend chèvre)
c'est le sinus qu'il faut utiliser pour obtenir directement les rapports qu'on veut.

OT/AO = BH/AH
OT*AH = AO*BH

sinus = coté opposé sur hypoténuse = OT/AO = BH/AB
(qui est équivallente à la relation que j'avais annoncée à 12:09)

et donc AB = ...
etc

AB = AO*BH/OT ?
Du coup AB = x*x+R/R ?

up

AB= x*x+1 donc ?

???

AB = AO*BH/OT

BH on ne le connait toujours pas (c'est ce qu'on cherche BH, avec toute cette magouille de trigo etc)
AO = x
OT = R
ça donne :

AB = x*BH/R

que tu "portes" dans (R+x)² - AB² = HB² :

(R+x)² - (x*BH/R)² = HB²
et je te laisse terminer ça pour obtenir BH² = ... (que des x et des R)

puis porter tout ça dans l'expression du volume :
V(x) = .... (que des x et des R)

et enfin passer au véritable problème (ceci n'était que le hors d'oeuvre, juste la mise en équation) qui est étudier le volume en fonction de x, pour trouver le maximum de cette fonction.

comment je peux y developper en ayant que des x et des R vu que j'ai BH dans l'expression, je suis perdue je crois..
j'aimerai y finir aujourd'hui en plus, ca risque d'etre compliqué pour moi..

c'est vraiment pas croyable.
BH c'est ce qu'on cherche

de toute façon avec un tel calcul qui s'étire sur des dizaines de posts, en plus le risque d'erreurs de recopie devient une quasi certitude, sans parler du "on ne sait plus où on en est"

reprenons tout proprement :

Pythagore dans ABH (il y avait une erreur, passée inaperçue dans tout ce bazar)
AB² = AH² + BH², soit avec ce qu'on connait AB² = (R+x)² + BH²

"le coup du sinus" :
sin(BAH) = BH/AB = OT/OA
d'où on tire AB = BH*OA/OT et en remplaçant ce qu'on connait : AB = BH*x/R

on remplace AB par ça dans l'autre égalité :
(BH*x/R)² = (R+x)² + BH²

soit BH²x²/R² = (R+x)² + BH²
on isole BH :
BH²[x²/R² - 1] = (R+x)²

et donc BH² = (R+x)²/(x²/R² - 1) (il y a bien "que des x et des R" là dedans non ?

tu n'as plus qu'à simplifier ça (même dénominateur, fractions de fractions, identités remarquable etc

enfin "porter" cette valeur de BH² dans l'expression du volume :
V(x) = 1/3 BH² * AH
(avec AH = x+R)
c'est du "copier coller" cette dernière étape.

Ne pas perdre de vue le but de tout ce calcul :
Obtenir la fonction V(x), volume en fonction de x, il restera à étudier cete fonction.

R²+2xR+x²/(x²/R²-1)
R²+2xE+x²/(x²/R²)-(1/R²)
R²+2xR+x²/(x²-1)/R²
la simplification est bonne :s ?

Je n'ai rien compris.
Il faut que tu mettes le dénominateur sur un même fraction, en multipliant le 1 par R²/R²

Ca donnerait R²+2xR+x²/(x²/R²)-(R²/R²) ?
J'ai compris la démarche mais je bloque à cette simplification..
désolé de vous déranger autant

développer n'est pas un bon plan.
pour simplifier des fractions il faut au contraire chercher à factoriser.

sinon c'est en plus faux

x²/R² - 1 ne fait pas (x²/R²) - (1/R²) mais x²/R² - R²/R² = ...
et comme tout ce truc est à mettre au dénominateur, tout ce truc est à mettre lui-même entre parenthèses obligatoires (en rouge), c'est celles qui étaient au début autour de x²/R² - 1
elles ne doivent pas être supprimées.

et pour écrire une fraction de fraction aussi, il faut ajouter des parenthèses obligatoires :
blabla/trucmuche/machin
et pas écrire blabla/trucmuche/machin qui veut textuellement dire (blabla/trucmuche)/machin qui n'est pas du tout la même chose.
(et ici le trucmuche il a lui-même des parenthèses en plus !)

d'où l'intérêt d'écrire tout ça avec des barres de fractions et pas des /, donc en LaTeX, mais ceci est une autre histoire
normallement sur ta feuille c'est bien avec des barres de fractions. et ce paquet de parenthèses ajoutées pour écrire proprement "sur une seule ligne" n'y sont pas.

fais déja des calculs corrects surtout !

bon le coup du R²/R² tu avais corrigé entre temps
reste que le "truc" c'est bien de factoriser x² - R² en (x+R)(x-R) pour pouvoir simplifier la fraction.

enfin une fraction de fraction ça s'écrit autrement.

A/(P/Q) = (A*Q)/P cours de 5ème

(tu pouvais aussi dès le départ supprimer ces fractions de fraction en multipliant directement numérateur et dénominateur par R² comme suggéré par Weierstrass)

tu obtiens

Non.
on obtient



ne surtout pas développer le numérateur !!

ok merci pour votre aide, donc j'ai:

V(x) = 1/3 de pi * (R²+2xR+x²)(R²/x²-R²) * R+x ?

pffff

on obtient
si on ne rate pas bêtement les simplifications parce que on a développé ce qu'il ne fallait pas développer :

erreur de LaTeX (on se tue à écrire de la syntaxe au lieu de la jutesse de la formule) :

je sais je suis nulle ... pour étudier le signe je dois faire quoi ?

le signe ?????
on cherche le maximum de cette fonction
donc pour ça il faut étudier cette fonction. pas en trouver le signe qui ne sert rien du tout : un volume c'est toujours positif !

donc déja domaine de définition :
pourquoi ? interprétation géométrique

ensuite calculer la dérivée
c'est cela le but de cet exercice : calculer une dérivée pour étudier une fonction.
Tout le reste, tout ce bazar, n'était que des calculs préliminaires, la "mise en équatuion" du problème et rien d'autre.
le véritable objet de l'exercice il est là, maintenant :
calculer la dérivée de V(x)

bah si c'est tjrs positif c'est sur R+ ?

Pour V'(x): on a (x+R)²/x-R , forme u/v
donc u'v-uv²/v²
u' = x²+2xR+x² = 2x+ 2 + 2x = 4x+2 ?
pour v ca bouge ?

le domaine de définition c'est ]R; +[
(x est > R sinon le cone n'a aucun sens (le point A est forcément au dessus de la sphère)
on retrouve la valeur x = R interdite (dénominateur nul) la valeur R étant exclue du domaine de définition.

calculs de dérivée faux
une remarque générale
x est une longueur comme R
dans une somme on doit donc avoir toujours des sommes de grandeurs de même type
2 n'est pas une longueur c'est un nombre sans dimension
4x + 2 est donc "forcément faux" puisque tu ajoutes une longueur 2x (en mètres) avec un nombre qui n'a pas d'unités (pas de dimension : 2 tout court)

on ne peut que ajouter des x avec des R, et des x² avec des x*R ou des R² etc

cette remarque permet de détecter instantanément les erreurs grossières de calcul. comme tes "x² - 1" tout à l'heure qui étaient "visiblement" faux sans même refaire quelque calcul que ce soit.
ici c'est pareil, ta dérivée est "visiblement fausse", sans calcul.

tu as choisi de développer, pourquoi pas

u = x² + 2Rx + R²

c'est une somme
dérivée de x² : 2x
dérivée de 2xR : 2R (R est une constante, c'est tout le "2R" qui est la constante k dans "dérivée de kx = k"
dérivée de R² : R² est une constante, sa dérivée est nulle
ce qui donne
u' = 2x + 2R + 0 = 2(x+R)

v = x - R
pareil, somme
dérivée de x : 1
dérivée de R : 0
v' = 1

(laisser judicieusement u = (x+R)² non développé dans (u'v - uv')/v² va là aussi permettre d'obtenir une factorisation de la dérivée "directement" et pas des calculs affreux)

tu as réussis à faire deux fautes dans un calcul... (x+R)² = x²+2xR+R², et si tu dérive tu obtiens 2x+2R.
Mais si on Mathafou t'avais précisé de ne pas développer, c'est que c'est utile ici:
(u²)' = 2uu'
donc ((x+R)²)' = 2(1)(x+R) = 2(x+R)
c'est quand même plus simple...

V'(x)= ( x+R)² * 1 - (2x+R)*(x-R)
V'(x) = (x+R)² - (2x²-2R² + R² - R² )
V'(x) = (x+R)²

... désolé mais là je bosse les maths depuis plusieurs heures donc j'ai l'impression de faire n'importe quoi mais je comprends la démarche je vous assure

weierstrass :

zidane59 avait bien écrit u prime = le truc faux
il n'a jamais écrit explicitement u tout court (l'a gardé pour lui)
le nombre d'erreurs cumulées n'est donc pas évaluable

c'est surtout là qu'il ne faut pas développer
V'(x) = (u'v - uv')/v²
calculer u' en développant ne chagrine pas outre mesure
par contre celui que j'ai mis en gras, en le gardant sous sa forme (x+R)², on "verra" directement la factorisation finale de V'(x) plutôt que d'obtenir un trinome, calculer Delta etc etc trucs bien lourds par rapport à :
étudier le signe directement d'un produit "tout factorisé".

recopier les trucs justes que l'on a écrit à ta place au lieu de refaire d'autres calculs faux ne me semble pas trop difficile non plus ...

ceci dit le problème principal est que tu ne maitrises pas les calculs élémentaires (tes difficultés pour caluler BH etc )
alors évidemment tu t'épuises complètement sur ces calculs élémentaires
résultat : cet épuisement mériterait que tu laisses reposer cet exo pour l'instant (pour aujourd'hui), oui.
tu fais n'importe quoi.

je peux que le finir aujourd'hui sachant que je ne suis pas là demain apres midi...
Si je reprends ce qui a été dit: V'(x) = 2(x+R) ?

non.

V(x) = 1/3 R² (x+R)²/(x-R) = 1/3 R² f(x)
on va étudier en fait f(x) = (x+R)²/(x-R), le facteur constant 1/3 R² n'intervenant pas.

f(x) = u/v
u = (x+R)² = x² + 2Rx + R²
v = x-R

u' = 2x + 2R = 2(x+R) mon post de 20:52 avec le calcul détaillé, ou le calcul de Weierstrass en considérant que u = (x+R)² est de la forme w²

v' = 1 (même post de 20:52)


il n'y a qu'à remplacer = recopier ce qu'on t'a écrit :



et le facteur évident (x+R) permet de factoriser le numérateur pour obtenir :
(ras le bol, débrouilles toi pour réviser des tas d'exos de 5ème 4ème 3ème sur les factorisations / développements / fractions etc etc tu en as absolument besoin. il est inadmissible que ces calculs prennent autant de temps, avec autant d'erreurs)



tableau de signes de ça
variations de f(x)
conclusion.