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Géométrie dans l'espace.
Bonjour à tous,
J'ai un DM à faire et je bute sur une question :merci à qui voudra m'aider;
Voici l'énoncé :
ABCDEFGH est un cube. I,J, K, L sont les milieux respectifs des segments AE, BG, EG et AB.
On se propose de démontrer de 2 façons différentes que les pts I, J, K, ET L sont coplanaires.
1. Avec les coordonnées. ça j'ai trouvé.
2. Avec les vecteurs :
On note M le milieu du segment IJ.
a) Démontrer vectoriellement que M est aussi le milieu du segment KL.
C'est là que je bute.
J'ai essayé avec la formule : Si Milieu de IJ alors 2KM = KI +KJ (en vecteurs...)
mais je ne m'en sors pas ...
Bonjour,
montrer "par les vecteurs" que 4 points sont coplanaires revient à monter qu'il existe des réels 
et 
tels que par exemple
pour faire ça on utilise Chasles à tout de bras en se ramenant à trois vecteurs "de base"
et c'est en fait absolument équivalent à choisir un repère (définition vectorielle de "coordonnées")
2.a) M étant le milieu de [IJ, on a (en vecteurs) MI + MJ = 0 .
Il s'agit donc de montrer qu'on a de même MK + ML = 0 .
Pour ce faire, tu pourrais décomposer le vecteur MK en passant par I et le vecteur ML en passant par J , puis additionner ces deux décompositions et voir ce que cela donne.
Désolé je n'avais pas saisi le sens de ta question, je m'étais arrêté à
On se propose de démontrer de 2 façons différentes que les pts I, J, K, ET L sont coplanaires.
tu décomposes ML en MI + IA + AL en vecteurs
et MK du même tabac via J et des sommets du cube
et tu écris MK + ML
puis tu fais intervenir M milieu de IJ : MI + MJ = 0
et tu fais intervenir les relations définissant I,J,K,L et les relations sur les sommets du cube pour montrer que tous les termes finissent par s'annuler
Merci Priam,
avec ta méthode j'arrive à MK + ML = IK + JL mais après ???
merci mathafou,
avec ta méthode j'arrive à
MK + ML = IA +AL +JG + GK mais après ???
"mais après"... l'idée est de se ramener à des vecteurs du cube (supportés par des arêtes du cube)
ainsi
IA est en ordre (sur une arête), IA = 1/2 EA, définition de I disais-je
AL aussi, AL = 1/2 AB idem
GK = 1/2 GE (définition de K) et donc GK = 1/2 (GF + FE) et c'est bon
JG = 1/2 BG = 1/2 (BF + FG)
ensuite on tient compte que c'est un cube, et donc que EA + BF = 0 (côtés opposés d'un carré) etc
et tout s'annule comme par magie.
(en fait on se guide un peu dans ce labyrinthe en suivant ça sur une figure)
bonjour
une autre solution plus simple pour le 2)
M milieu de [IJ] donc AM=(1/2)(AI+AJ)
AI=(1/2)AE et AJ=(1/2)(AB+AG)
donc
AI+AJ=(1/2)(AE+(AB+AG))=(1/2)((AE+AG)+AB)=(1/2)(AE+AG)+(1/2)AB=AK+AL
donc
AM=(1/2)(AK+AL)
donc M milieu de [KL]
les diagonales (IJ) et (KL) du quadrilatère (ILJK) ont le même milieu M donc (ILJK) est un parallélogramme.
donc les quatres points I,J,K et L sont coplanaires.
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