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Géométrie dans l'espace

Posté par
tuxedo95
26-03-17 à 12:16

Bonjour,

J'aimerais avoir votre aide sur l'exo de géométrie suivant:

Enoncé, soit une surface définie par le sys. d'éq° : \left\lbrace\begin{array}l x^2+y^2 + z^2 =1 \\ y^2+z^2=z \end{array}
1. Déterminer la tangente à en M_0(x_0,y_0,z_0) un point de la surface

2. On souhaite déterminer une  représentation paramétrique de
a, A l'aide d'un paramètre réel t, caractériser les réels y et z qui vérifient y^2+z^2=z
b, En déduire que est la réunion de 2 courbes symétriques l'une de l'autre par rapport au plan y0z. Donner une représentaton paramétrique de chacune ses 2 courbes.

Voilà pour la première question, je me demande si on peut séparer le sys.  en 2 surfaces distinctes, puis écrire le plan tangent à chacune des courbes en M_0 puis l'intersection de ces 2 plans donnera peut-être la tangente ?

Qu'en pensez vous ?

Posté par
carpediem
re : Géométrie dans l'espace 26-03-17 à 12:35

on peut ...

Posté par
tuxedo95
re : Géométrie dans l'espace 26-03-17 à 12:37

oui mais est-ce que c'est rigoureux comme démarche ? Est-ce qu'il y a d'autres méthodes plus rapides ?

Posté par
tuxedo95
re : Géométrie dans l'espace 26-03-17 à 12:50

je trouve que la tangente à en M_0 ( (0,0,0)) est donnée par le sys. d'équ° suivant:
\left\lbrace\begin{array}l x_0 x +y_0 y + z_0 z -1 =0 \\ 2y_0 y +(2z_0 -1)z -z_0 =0 \end{array}
ce qui donne :\large \left \lbrace \begin{array}{r @{ = } l} x_0 x & -z_0 -2 - t  \\ y_0 y & 3+z_0 +(1-z_0)t \\ z & t \end{array} \right

En fait, je sais pas comment justifier le fait qu'on peut diviser par x_0 et y_ 0 dans les 2 premières équations, à par le fait que M_0 = (x_0,y_0,z_0) \neq (0,0,0) mais ça ne veut pas dire que les 3 coordonnées doivent être différentes de 0 en même temps

Posté par
tuxedo95
re : Géométrie dans l'espace 26-03-17 à 12:53

Ah j'ai pas été clair dans la dernière phrase, je reprends:

tuxedo95 @ 26-03-2017 à 12:50



En fait, je sais pas comment justifier le fait qu'on peut diviser par x_0 et y_ 0 dans les 2 premières équations, à par le fait que M_0 = (x_0,y_0,z_0) \neq (0,0,0) mais ça ne veut dire que y_0 et x_0 peuvent être nuls et z_0 \neq 0

Posté par
ThierryPoma
re : Géométrie dans l'espace 26-03-17 à 13:55

Bonjour,

Très brièvement et sans aucune rigueur : Posons

f(x,\,y,\,z)=x^2+y^2+z^2-1\text{ et }\mathcal{S}=f^{-1}(\{0\})

ainsi que

g(x,\,y,\,z)=y^2+z^2-z\text{ et }\mathcal{C}=g^{-1}(\{0\})

Ainsi a-t-on que \Gamma=\mathcal{S}\cap\mathcal{C}. Soit alors (a,\,b,\,c)\in\Gamma. Que penser de ceci ? Pourquoi ?

\overrightarrow{\text{grad}}\,f\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\\\end{array}\right)\wedge\overrightarrow{\text{grad}}\,g\left(\begin{array}{c}a\\b\\c\\\end{array}\right)

Conclusion ?

Posté par
tuxedo95
re : Géométrie dans l'espace 26-03-17 à 15:28

ça nous donne le vecteur directeur de la droite tangente ! du coup il suffit de trouver un point de la droite pour avoir son expression !
C'est une méthode très rapide mais pour justifiier rigoureusement .....

Posté par
carpediem
re : Géométrie dans l'espace 26-03-17 à 16:49

l'intersection de deux plans tangents est l'intersection de deux plans ...

Posté par
DOMOREA
re : Géométrie dans l'espace 27-03-17 à 16:11

bonjour,
Biensûr  ok!  pour la présentation de ThierryPoma
le système d'équations permet de trouver d'une manière élémentaire un système paramétrique de la courbe:

x=t;   y=\pm t\sqr{1-t^2};   z=1-t^2
On voit immédiatement que \Gamma  est symétrique par rapport au plan yoz
en changeant t en -t.
On pouvait aussi observer que \Gamma est l'intersection d'une sphère de centre  O et d'un cylindre parabolique de génératrice OY et de directrice  la parabole y=0,  z=1-x² d'où la symétrie par rapport à yoz
En t=1 et t=-1, les tangentes sont dans le plan xoz, de  direction \vec{U}=(ux,uz)= (1,-2) pour  t=1 et   \vec{U'}=(ux,uz)=(1,2) pour t=-1 il suffit de calculer les dérivées par rapport à t de x(t),y(t),z(t)
En t=0 les tangentes sont dans  un plan de direction  (xoy) de vecteurs directeurs (1,1) et ((1,-1) ( la sphère et le cylindre sont tangents en ce point (0,0,1)

Posté par
Priam
re : Géométrie dans l'espace 28-03-17 à 10:11

Ledit cylindre ne serait-il pas plutôt un cylindre de révolution dont les génératrices, parallèles à l'axe Ox, s'appuieraient sur le cercle d'équation  y² + z² - z = 0 dans un plan  x = k ?

Posté par
DOMOREA
re : Géométrie dans l'espace 28-03-17 à 12:06

bonjour,

non!  Des deux équations on extrait  x²+z=1,  dans Y=0, c'est l'équation d'une parabole  d'axe oz



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