Bonjour,
J'aimerais avoir votre aide sur l'exo de géométrie suivant:
Enoncé, soit une surface définie par le sys. d'éq° :
1. Déterminer la tangente à en un point de la surface
2. On souhaite déterminer une représentation paramétrique de
a, A l'aide d'un paramètre réel t, caractériser les réels y et z qui vérifient
b, En déduire que est la réunion de 2 courbes symétriques l'une de l'autre par rapport au plan y0z. Donner une représentaton paramétrique de chacune ses 2 courbes.
Voilà pour la première question, je me demande si on peut séparer le sys. en 2 surfaces distinctes, puis écrire le plan tangent à chacune des courbes en puis l'intersection de ces 2 plans donnera peut-être la tangente ?
Qu'en pensez vous ?
oui mais est-ce que c'est rigoureux comme démarche ? Est-ce qu'il y a d'autres méthodes plus rapides ?
je trouve que la tangente à en ( (0,0,0)) est donnée par le sys. d'équ° suivant:
ce qui donne :
En fait, je sais pas comment justifier le fait qu'on peut diviser par x_0 et y_ 0 dans les 2 premières équations, à par le fait que mais ça ne veut pas dire que les 3 coordonnées doivent être différentes de 0 en même temps
Ah j'ai pas été clair dans la dernière phrase, je reprends:
Bonjour,
Très brièvement et sans aucune rigueur : Posons
ainsi que
Ainsi a-t-on que . Soit alors . Que penser de ceci ? Pourquoi ?
Conclusion ?
ça nous donne le vecteur directeur de la droite tangente ! du coup il suffit de trouver un point de la droite pour avoir son expression !
C'est une méthode très rapide mais pour justifiier rigoureusement .....
bonjour,
Biensûr ok! pour la présentation de ThierryPoma
le système d'équations permet de trouver d'une manière élémentaire un système paramétrique de la courbe:
On voit immédiatement que est symétrique par rapport au plan yoz
en changeant t en -t.
On pouvait aussi observer que est l'intersection d'une sphère de centre O et d'un cylindre parabolique de génératrice OY et de directrice la parabole y=0, z=1-x² d'où la symétrie par rapport à yoz
En t=1 et t=-1, les tangentes sont dans le plan xoz, de direction =(ux,uz)= (1,-2) pour t=1 et (ux,uz)=(1,2) pour t=-1 il suffit de calculer les dérivées par rapport à t de x(t),y(t),z(t)
En t=0 les tangentes sont dans un plan de direction (xoy) de vecteurs directeurs (1,1) et ((1,-1) ( la sphère et le cylindre sont tangents en ce point (0,0,1)
Ledit cylindre ne serait-il pas plutôt un cylindre de révolution dont les génératrices, parallèles à l'axe Ox, s'appuieraient sur le cercle d'équation y² + z² - z = 0 dans un plan x = k ?
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