Géométrie dans l'espace

 Niveau Reprise d'études-TerPartager :
			        
Géométrie dans l'espace
Posté par  Ramanujan  22-08-18 à 03:37
Bonsoir,

Soit ABCD un tétraèdre. I est le milieu du segment  et J est le point de la face BCD défini par : 
On se place dans le repère 

J'ai trouvé : 

J'aimerais démontrer que  n'est pas parallèle au plan  pour assurer l'existence d'un point d'intersection K entre le plan et la droite.
Mais je ne vois pas comment faire : je ne trouve pas la propriété à appliquer. 

Merci.
 Posté par 
patrice rabillerre : Géométrie dans l'espace  22-08-18 à 07:51
Bonjour,

Pour ma part, je n'ai pas trouvé les mêmes coordonnées que toi pour .

J'ai trouvé : .

Cela n'a pas d'importance pour la méthode à suivre (seuls les calculs seront différents) :

1) Trouver l'équation du plan (ABC)

2) Trouver une représentation paramétrique de la droite (IJ)

3) Résoudre le système obtenu...
 Posté par 
Sylvieg re : Géométrie dans l'espace  22-08-18 à 09:22
Bonjour,

Je trouve bien  +1/6  pour la première coordonnée de   
 Posté par 
Sylvieg re : Géométrie dans l'espace  22-08-18 à 09:38
Avec les coordonnées du point J qui sont (1/6 ; 1/2 ; 1/3) :

Soit  P  le plan parallèle au plan (ABC) issu de I .

Un équation de  P :  z = 1/2 .

Or  zJ  1/2  ;  donc  J P

Si la droite (IJ) était parallèle au plan (ABC), alors la droite (IJ) serait incluse dans le plan P.
 Posté par 
DOMOREAGéométrie dans l'espace  22-08-18 à 09:41
bonjour,

Si (IJ) était parallèle au plan ABC  alors  serait un vecteur du plan vectoriel défini par les deux vecteurs… donc …
 Posté par  Ramanujanre : Géométrie dans l'espace  22-08-18 à 10:20
Sylvieg @ 22-08-2018 à 09:38

Avec les coordonnées du point J qui sont (1/6 ; 1/2 ; 1/3) :

Soit  P  le plan parallèle au plan (ABC) issu de I .

Un équation de  P :  z = 1/2 .

Or  zJ  1/2  ;  donc  J P

Si la droite (IJ) était parallèle au plan (ABC), alors la droite (IJ) serait incluse dans le plan P.

Joli mais comment montrer que (P) // (ABC) ? 

Pourquoi (IJ) doit être incluse dans P pour être parallèle au plan (ABC) ? 
 Posté par 
Sylvieg re : Géométrie dans l'espace  22-08-18 à 10:30
Si un plan a pour équation   ax+by+cz+d = 0  alors tous les plans qui lui sont parallèles ont une équation de la forme  ax+by+cz+e = 0 .
 Posté par  Ramanujanre : Géométrie dans l'espace  22-08-18 à 10:47
Sylvieg @ 22-08-2018 à 10:30

Si un plan a pour équation   ax+by+cz+d = 0  alors tous les plans qui lui sont parallèles ont une équation de la forme  ax+by+cz+e = 0 .

Ah oui même vecteur normal (a,b,c) donc plans parallèles.

Et pour le 2ème point ? 
 Posté par  Ramanujanre : Géométrie dans l'espace  22-08-18 à 10:50
@Domorea

Si (IJ) était parallèle au planc ABC,  serait colinéaire à   et  

Il faut trouver un réel  tel que : 

Soit : 

Donc : 

Impossible donc  serait colinéaire à  . On obtient une contradiction.

Conclusion : (IJ) est parallèle au plan (ABC).
 Posté par 
DOMOREAGéométrie dans l'espace  22-08-18 à 11:09
non

il existerait a et b tels que  donc on aurait 
 Posté par  Ramanujanre : Géométrie dans l'espace  22-08-18 à 14:43
Merci.

J'aimerais savoir, vous utilisez la définition ci-dessous ? 

Soit A un point et  et   deux vecteur non colinéaires. Le plan P passant par A dirigé par le couple de vecteurs  est l'ensemble des points M pour lesquels il existe 2 réels a et b tels que :

 Posté par  Ramanujanre : Géométrie dans l'espace  22-08-18 à 15:14
Mais cette propriété dit que est pour les points appartenant au plan lui même pas une droite parallèle au plan, je ne comprends pas
  Posté par  Ramanujanre : Géométrie dans l'espace  22-08-18 à 16:06
En fait j'ai compris merci ! 

Pour montrer qu'une droite (IJ) est parallèle à un plan dirigé par un couple de vecteurs non colinéaires  il faut montrer que le vecteur  est combinaison linéaire des vecteurs u et v soit :