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Géométrie dans l'espace

Posté par
Okhtobot 09-11-19 à 17:54

Bonjour à tous,

Je n'arrive plus à avancer face à cet exercice : "Dans le repère orthonormé (O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k}), déterminer en fonction de c appartenant à R tous les vecteurs \vec{v} tels que :

( \vec{i} - 3\vec{j}) \wedge  \vec{v} = c\vec{k}.

On nous aide en nous disant qu'il faut montrer que la différence entre deux solutions est un multiple de (\vec{i} - 3\vec{j}), ce que j'ai réussi à faire mais je n'arrive pas à trouver une solution particulière en fonction de c. Auriez-vous des pistes ?

Merci par avance.

Posté par
verdurinre : Géométrie dans l'espace 09-11-19 à 18:23

Bonsoir,
tu peux utiliser la distributivité du produit vectoriel sur la somme pour voir qu'il y a une solution colinéaire à \vec j

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie dans l'espace 09-11-19 à 18:37

Bonsoir,
\vec{k} \; est orthogonal à \; \vec{v} \; ; donc \; \vec{v} est orthogonal à \; \vec{k} .
Essaye avec un vecteur simple orthogonal à \; \vec{k} .
Tu vas tomber sur \; \lambda \vec{k} a\; u lieu de \; c \vec{k} .
Tu mets du \; \dfrac{c}{\lambda } \; devant ton vecteur simple.

Posté par
Okhtobotre : Géométrie dans l'espace 09-11-19 à 18:38

Cool, merci verdurin, je vais me concentrer sur ça et je te donne un retour.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie dans l'espace 09-11-19 à 18:39

Bonsoir verdurin \;
Je ne suis pas très rapide...

Posté par
verdurinre : Géométrie dans l'espace 09-11-19 à 18:51

Bonsoir Sylvieg.
Je ne suis pas très rapide non plus.
Mais ton message est plus précis et plus instructif que le mien.
En fait je me suis demandé comment ne pas répondre : « il y a une solution évidente qui est . . . » et je trouve que tu as un peu plus creusé le problème.

Posté par
carpediemre : Géométrie dans l'espace 09-11-19 à 20:13

salut

on peut toujours poser v = xi + yj + zk et développer le produit vectoriel ...

Posté par
Okhtobotre : Géométrie dans l'espace 09-11-19 à 20:47

Merci beaucoup pour vos réponses.

Pour ma part j'ai pris deux cas, si c = 0, (\vec{i} - 3\vec{j}) et \vec{v} sont colinéaires. Sinon on a z = 0 et le vecteur \vec{v} est de la forme (x ; y ; 0).

En développant le produit vectoriel on obtient : (3x + y) \vec{k} et en suivant les conseils de Sylvieg, je pose 3x + y = \lambda   pour obtenir finalement \vec{v} = (\frac{c}{\lambda }x ; \frac{c}{\lambda }y  ; 0). Mais je ne comprends pas quelle est l'utilité de savoir que la différence entre deux solutions est un multiple de (\vec{i} - 3\vec{j}) ?

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie dans l'espace 09-11-19 à 21:00

Ça permet de les trouver tous à partir d'un seul.

Posté par
Okhtobotre : Géométrie dans l'espace 09-11-19 à 22:40

D'accord donc si j'ai bien compris on a :

\vec{i} - 3\vec{j} = \lambda \vec{v} avec \lambda \vec{v'} = (x' ; y' ; 0).

Puis on calcule \lambda \vec{v'} \wedge \vec{v} = \lambda (x'y - xy')\vec{k} et en posant encore (x'y-xy') = \frac{c}{\lambda }, on retrouve le résultat c'est bien ça  ou je fais fausse route ?


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