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géométrie dans l'espace

Posté par
soso333
26-02-20 à 16:46

Bonjour pourrez-vous m'aider car je suis bloqué dans mon exercice.
L'énoncer
Dans l'espace rapport un repère orthonormal (O; i, j, k) à tout réel m, on associe le plan Pm  d'équation cartésienne (m+1)x-(m-1)y-(2m-1)z -1= 0

1. Démontrer que les plans P0 et P1  sont sécants suivant une droite D. Donner un système d'équations paramétriques de D.
2. Démontrer que D est incluse dans les plans Pm .
3. Retrouver ce résultat en cherchent l'intersection de Pm et  Pm' pour tout m ≠ m'.
4. Réciproque, tout plan contenant la droite D est-il un plan Pm ?

Ce que j'ai fait :
1) P0 : (0+1)x-(0-1)y-(2*0-1)z -1= 0 <=> x+y+z-1=0
     P1 : (1+1)x-(1-1)y-(2*1-1)z -1= 0 <=> 2x-z-1=0 <=> x- (1/2) z - (1/2) =0
On prend les coefficients normaux de P0  qui est (1,1,1) de  P1 qui est ( 1, 0, -1/2), on peut observer que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires et les coordonnées ne sont pas proportionnel donc les plans ne sont pas parallèles alors ils sont sécantes.

Pour trouver l'intersections entre ces deux plans on doit résoudre le système suivant :
x+y+z-1=0                      y=-x-z+1                        y=-((1/2) z+ 1/2 )-z+1             y= -((1/2) z+1/2
x-1/2 z -1/2 =0      <=>   x=(1/2) z+ 1/2  <=>        x=(1/2) z+ 1/2             <=>     x=(1/2) z+ 1/2    

y= -((1/2) t+1/2                                                                        
x=(1/2) t+ 1/2     t ∈ R  
z=t    
Donc P0  et P1  sont sécants selon la droite D :     y= -((1/2) t+1/2  
                                                                                                                                              x=(1/2) t+ 1/2     t ∈ R
                                                                                                                                               z=t
A partir de là je ne sais plus quoi faire.

Posté par
Priam
re : géométrie dans l'espace 26-02-20 à 17:04

1. Il y a une erreur dans la représentation paramétrique de la droite D.
2. Tu pourrais remplacer, dans l'équation du plan Pm, x, y et z par les coordonnées paramétriques de la droite D.

Posté par
soso333
re : géométrie dans l'espace 26-02-20 à 17:52

Merci j'avais pas vu mon erreur x=(1/2) t+ 1/2
                                                                       y= -3/2 t +1/2                    t ∈ R
                                                                       z=t
Alors Pm: (m+1)((1/2) t+ 1/2)-(m-1)(-3/2 t +1/2)-(2m-1)t -1= 0
<=> ((1/2) tm+ (1/2)m+(1/2) t+ 1/2)-((-3/2) tm +(1/2)m+3/2 t-1/2)-(2mt-t)-1=0
<=>(1/2) tm+ (1/2)m+(1/2) t+ 1/2+(3/2) tm -(1/2)m-3/2 t+1/2-2mt+t-1=0
<=>  0=0

Posté par
Priam
re : géométrie dans l'espace 26-02-20 à 19:13

Oui. Conclusion ?

Posté par
carpediem
re : géométrie dans l'espace 26-02-20 à 19:46

salut

quel est l"intérêt de transformer 2x - z - 1 = 0 en x - z/2 - 1/2 = 0 ( et même à s'em... à l'écrire x - (1/2)z - (1/2) = 0 dans laquelle cinq symboles sont inutiles et alourdissent inutilement l'écriture de l'expression) et s'enquiquiner avec des fractions ...

x + y + z - 1 = 0
2x + 0y - z - 1 = 0

ces équations ne sont évidemment pas proportionnelles ... (0y dans l'une implique 0y dans l'autre)

ensuite le paramètre à prendre n'est pas t mais x

x = x
z = 2x - 1
y = 2 - 3x

Posté par
carpediem
re : géométrie dans l'espace 26-02-20 à 19:48

soso333 @ 26-02-2020 à 17:52

Alors Pm: (m+1)((1/2) t+ 1/2)-(m-1)(-3/2 t +1/2)-(2m-1)t -1= 0
<=> ((1/2) tm+ (1/2)m+(1/2) t+ 1/2)-((-3/2) tm +(1/2)m+3/2 t-1/2)-(2mt-t)-1=0
<=>(1/2) tm+ (1/2)m+(1/2) t+ 1/2+(3/2) tm -(1/2)m-3/2 t+1/2-2mt+t-1=0
<=>  0=0
NON on ne sait pas que ça fait 0 ... MAIS on veut (car c'est la question) que ça fasse 0

donc on calcule le premier membre et on obtient 0



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