Bonjour pourrez-vous m'aider car je suis bloqué dans mon exercice.
L'énoncer
Dans l'espace rapport un repère orthonormal (O; i, j, k) à tout réel m, on associe le plan Pm d'équation cartésienne (m+1)x-(m-1)y-(2m-1)z -1= 0
1. Démontrer que les plans P0 et P1 sont sécants suivant une droite D. Donner un système d'équations paramétriques de D.
2. Démontrer que D est incluse dans les plans Pm .
3. Retrouver ce résultat en cherchent l'intersection de Pm et Pm' pour tout m ≠ m'.
4. Réciproque, tout plan contenant la droite D est-il un plan Pm ?
Ce que j'ai fait :
1) P0 : (0+1)x-(0-1)y-(2*0-1)z -1= 0 <=> x+y+z-1=0
P1 : (1+1)x-(1-1)y-(2*1-1)z -1= 0 <=> 2x-z-1=0 <=> x- (1/2) z - (1/2) =0
On prend les coefficients normaux de P0 qui est (1,1,1) de P1 qui est ( 1, 0, -1/2), on peut observer que les deux vecteurs ne sont pas colinéaires et les coordonnées ne sont pas proportionnel donc les plans ne sont pas parallèles alors ils sont sécantes.
Pour trouver l'intersections entre ces deux plans on doit résoudre le système suivant :
x+y+z-1=0 y=-x-z+1 y=-((1/2) z+ 1/2 )-z+1 y= -((1/2) z+1/2
x-1/2 z -1/2 =0 <=> x=(1/2) z+ 1/2 <=> x=(1/2) z+ 1/2 <=> x=(1/2) z+ 1/2
y= -((1/2) t+1/2
x=(1/2) t+ 1/2 t ∈ R
z=t
Donc P0 et P1 sont sécants selon la droite D : y= -((1/2) t+1/2
x=(1/2) t+ 1/2 t ∈ R
z=t
A partir de là je ne sais plus quoi faire.
1. Il y a une erreur dans la représentation paramétrique de la droite D.
2. Tu pourrais remplacer, dans l'équation du plan Pm, x, y et z par les coordonnées paramétriques de la droite D.
Merci j'avais pas vu mon erreur x=(1/2) t+ 1/2
y= -3/2 t +1/2 t ∈ R
z=t
Alors Pm: (m+1)((1/2) t+ 1/2)-(m-1)(-3/2 t +1/2)-(2m-1)t -1= 0
<=> ((1/2) tm+ (1/2)m+(1/2) t+ 1/2)-((-3/2) tm +(1/2)m+3/2 t-1/2)-(2mt-t)-1=0
<=>(1/2) tm+ (1/2)m+(1/2) t+ 1/2+(3/2) tm -(1/2)m-3/2 t+1/2-2mt+t-1=0
<=> 0=0
salut
quel est l"intérêt de transformer 2x - z - 1 = 0 en x - z/2 - 1/2 = 0 ( et même à s'em... à l'écrire x - (1/2)z - (1/2) = 0 dans laquelle cinq symboles sont inutiles et alourdissent inutilement l'écriture de l'expression) et s'enquiquiner avec des fractions ...
x + y + z - 1 = 0
2x + 0y - z - 1 = 0
ces équations ne sont évidemment pas proportionnelles ... (0y dans l'une implique 0y dans l'autre)
ensuite le paramètre à prendre n'est pas t mais x
x = x
z = 2x - 1
y = 2 - 3x
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