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Géométrie dans l'espace
Salut
Soit (O,u,v,w) un repère orthonormé direct de l'espace. Dans la figure ci contre OABC est un tétraèdre tel que : OA = 5u (tout en vecteur) OB = 5v et OC = 10w et I le point de coordonnées (3,3,3)
1) Verifier que le plan (ABC) a pour équation : 2x + 2y + z -10=0
Là j'ai utilisé le fait que AB vectoriel AC est un vecteur normal au plan (ABC) et je l'ai eu
2) Soit S la sphère de centre I et de rayon 3.
a ) Quelle est la position relative de la sphère S et du plan (ABC) ?
Là j'ai cherché les distances IA , IB et IC qui étaient tous supérieures au rayon de la sphère , j'en ai conclu que le plan ABC était extérieur à la sphère S
b ) Montrer que S est tangente aux plans (OAB) , (OAC) et (OBC)
ici j'ai aucune idée et le reste également
3) Soit k un réel non nul et h l'homothétie de centre O et de rapport k .
On note S'/h(S) = S'
a) Montrer que S' est tangente aux plans (OAC),(OAB),(OBC)
b) Déterminer les valeurs de k pour lesquelles S' est tangente au plan (ABC)
4)Déterminer le centre et le rayon de la sphère tangente intérieurement aux quatre faces du tétraèdre OABC
Bonjour,
2a ) Quelle est la position relative de la sphère S et du plan (ABC) ?
Là j'ai cherché les distances IA , IB et IC
aucun rapport
ce qui compte c'est la distance de I au plan 2x + 2y +z-10=0
2b) idem mais encore plus simple car par exemple la distance de I au plan OAB est tout simplement la coordonnée z de I !
3a) instantané car une homothétie conserve les "incidences" :
l'image de deux objets P et Q sécants est deux objets P' et Q' sécants
et l'image d'un point M commun à P et Q est un point M' commun à P' et Q'
or on sait que S est tangente à (OAB) et ce plan est invariant par l'homothétie de centre O (il contient O)
3b) faire une figure de ce qu'il se passe dans le plan contenan (OI) et orthogonal à (ABC) :
OI' = k OI, R' = kR
et d' en fonction de k, dO et d
et finalement d' = R' pour avoir la tangence de S' avec le plan.
Nota :
la méthode de l'énoncé de choisir une sphère arbitraire tangente à 3 faces, puis une homothétie pour la rendre tangente à la 4ème est un peu "moche"
c'est un pur prétexte à calculs !
on peut calculer le rayon de la sphère inscrite directement
en effet ce rayon r est donné par la formule V = r S/3 où V est le volume et S l'aire totale
formule facile à démontrer en considérant le volume comme la somme des volumes des pyramides de sommet I, centre de la sphère inscrite, et de bases chacune des faces de OABC (du polyèdre en général, si celui-ci a une sphère inscrite)
seule l 'aire de ABC n'est pas instantanée
quoique à ce niveau on utilise le produit vectoriel (déja calculé)
... au moins ça permettra de vérifier les calculs 
nota 2 :
l'équation d'un plan passant par des points sur les axes de coordonnées (a, 0, 0) (0, b, 0) et (0, 0, c) s'obtient instantanément comme x/a + y/b + z/c = 1
ça donne pareil en plus rapide que le calcul du produit vectoriel
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