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Géométrie dans l’espace

Posté par
capucinee
16-12-20 à 15:22

Bonjour,
Je dois effectuer cet exercice. Cependant je suis bloquée pour le continuer. Pouvez-vous m'aider ?

On se place dans l'espace muni d'un repère.
On a la droite d dont une représentation paramétrique est : x=-t-1
                              y=4t-3
                              z=0,5t+6
1) donner un vecteur directeur de d:
Le vecteur (-1;4;0,5) est un vecteur directeur de d

2) on a ensuite le plan p passant par le point A(-1;2;5) et dirigé par le couple vecteur(u,v) avec vecteur u(1;1;1) et vecteur v(-6;4;-3)

La première question demande si le point E(1;1;1) appartient au plan.
J'ai donc résolue le système tel que vecteur AE= t* vecteur AB+ t'* vecteur AC
J'ai obtenir que le système n'a pas de solution et donc que le point E n'appartient pas au plan

b) déterminer si la droite d est parallèle au plan P.

c) déterminer une représentation paramétrique de la droite d' contenant E(1;1;1) de vecteur directeur u.
J'ai ici obtenir qu'une représentation paramétrique de d' est: x=t+1
                                 y=t+1
                                 z=t+1
d) que peut-on dire de d' et du plan P.

Je suis bloquée aux questions b et d. Je ne sais pas quelle méthode appliquer.

Merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 16:04

salut

arrête avec ces "on a" et donne-nous l'énoncé exact et complet au mot près !!!

1/ ok

2/ qui sont B et C ?

b/ un vecteur directeur de la droite d peut-il être combinaison linéaire des vecteur u et v ?

d/ voir b/ ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 16:05

Bonjour,
b) déterminer si la droite d est parallèle au plan P.

cherche l'intersection entre la droite et le plan (en remplaçant les x;y;z de la droite dans les équations du plan et en résolvant le système). Si tu trouves une solution c'est que la droite n'est pas parallèle.

d) que peut-on dire de d' et du plan P.
le vecteur directeur de la droite est un des vecteurs qui génère le plan donc que penses-tu de la position de la droite et du plan ?

Posté par
capucinee
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 16:24

Merci beaucoup pour votre réponse. Je veillerai à bien formuler le sujet la prochaine fois.

1/ vu qu'un plan est défini par deux droites sécantes donc par un point et un couple de vecteurs colinéaires et qu'ici le plan passe par le point A(-1;2;5) et est dirigé par le couple vecteurs (u et v)

J'ai renommé le vecteur u pour le vecteur AB et le vecteur v pour le vecteur AC. Ainsi:
vecteur AB( 1;1;1) et AB(xb-xa; yb-ya ; zb-za) d'où en résolvant les différentes équations: B(0;3;6)  
J'ai appliqué le même principe pour AC: soit C(-7;6;2)
Je viens de me rendre-compte que ce n'était pas nécessaire de remplacer les vecteurs u et v.

Si un point E(1;1;1) appartient au plan P cela signifie que les coordonnés de E vérifient la representation paramétrique x=-1+t-6t'
                            y=2+t+4t'
                            z=5+t-3t'
En remplaçant x,y et z et en résolvant le système, j'obtient:
t'=-3/10
t=0,2
t=-4,9
0,2 étant différent de -4,9, le système n'a pas de solution donc le point E n'appartient pas au plan.

b) En prenant le vecteur w (-1;4;0,5) vecteur directeur de la droite, il n'existe pas de combinaison linéaire ni avec le vecteur u ni avec le vecteur v puisque:
Pour le vecteur u:
xw=-xu or yw=4yu

Pour le vecteur v:
6xw=xv  or yw=yv
Cela suffit-il pour démontrer qu'une droite n'est pas parallèle à un plan ?

d) comme le vecteur directeur de la droite d' est identique au vecteur directeur du plan, la droite d' est parallèle incluse au plan P.
Est ce exact ?

Merci beaucoup pour votre réponse

Posté par
capucinee
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 16:27

Désolée, je n'avais pas vu votre réponse.
Tout d'abord merci beaucoup pour celle-ci.
Cependant pour la question b), je n'ai pas encore abordé les équations cartésiennes. Je ne sais donc pas comment m'en servir.

Pour la d), le vecteur directeur de la droite étant un des vecteurs qui génère le plan, la droite d est parallèle et confondue avec le plan ?

Posté par
carpediem
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 17:31

Citation :
Je viens de me rendre-compte que ce n'était pas nécessaire de remplacer les vecteurs u et v.
très bien !!! c'est comme cela qu'on apprend ...

b/ non ça ne va pas :

en notant w = (-1, 4, 1/2)  (vecteur directeur de d) tu cherches des réels a et b tels que w = au + bv (u et v sont "les vecteurs directeurs" du plan)

c'est cela qu'on appelle une combinaison linéaire

et c'est ce qui sert aussi pour d/

Glapion te propose, lui, une autre méthode mais il est important de travailler les combinaisons linéaires

d/ en es-tu sûre ? (qu'as-tu répondu en 2a/ ?

Posté par
capucinee
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 17:44

b) on cherche les réels a et b tel que w=au+bv:
Soit le système:
-1=a-6b.    (1)
4=a+4b.     (2)
0,5=a-3b.   (3)

Soit:
-5=-10b.    (1)-(2)
4=a+4b
0,5=a-3b

b=0,5
4=a+2
0,5=a-1,5

b=0,5
a=2
a=2

Donc le système admet une solution donc la droite d est parallèle au plan P.

d) oups oui.
Le point E n'étant pas dans le plan P, la droite d' est parallèle et non confondue au plan P.
Est-ce exact ?

Encore merci pour votre aide

Posté par
carpediem
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 18:12

ben ça me semble tout correct maintenant ...

maintenant que tu sais que d est parallèle à P il peut être pertinent de préciser la situation : est-elle strictement parallèle à P ou incluse dans P ?

Posté par
capucinee
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 18:25

J'étais justement en train d'essayer.

J'ai commencé par définir un vecteur normal non nul du plan soit: vecteur n(-7;-3;10) à l'aide des différents coordonnés des vecteurs u et v

J'ai ensuite défini une équation cartésienne de P: -7x-3y+10z+d=0
Le point A appartenant au plan, à l'aide de ses coordonnées:
-7*(-1)-3*2+10*5+d=0
d=-51
Donc l'équation cartésienne est:
-7x-3y+10z-51=0

Le point G(-1;-3;6) étant un point de la droite, on remplace x,y et z par ses coordonnés dans l'équation:
-7*(-1)-3*(-3)+10*6-51=25
25 différent de 0 donc le point G n'appartient pas à P donc la droite d est strictement parallèle à P.

Je ne sais cependant pas si ce qui précède est juste.

Merci

Posté par
carpediem
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 18:49

si c'est bien ... le raisonnement est correct (mais je ne vérifie pas les calculs)

mais tu aurais pu faire plus simple toujours avec les combinaisons linéaires :

tu prends effectivement un point de d (par exemple ton G) et tu vérifies simplement si AG est combinaison linéaire de u et v

Posté par
capucinee
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 18:55

En résolvant ce système , j'obtiens:
b=0,5
a=-7
a=2,5
-7 différent de 2,5 donc le systeme n'admet pas de solution donc la dorlote d est strictement parallèle à P. ( réponse identique avec l'autre méthode.

Merci beaucoup pour votre aide et vos pistes de réflexion.

Posté par
carpediem
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 19:10

de rien

c'est quand même plus rapide que de déterminer une équation du plan ect ... et ça te permet de confirmer ton résultat

Posté par
capucinee
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 19:11

C'est sûr que ça n'a rien à voir.
Encore merci.

Bonne soirée

Posté par
carpediem
re : Géométrie dans l’espace 16-12-20 à 19:19

merci et à toi aussi



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