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Géométrie dans l?espace
Bonsoir, j?ai besoin d?aide avec cette exercice s?il vous plaît :
Soit ABCDEFGH, le cube de côté 1. Avec M et N milieux de [AB] et [BC]
Première partie (sans repère)
1)a) Montrer que (CD) et (MN) sont sécantes
b)Placer K qui vérifie vecteur(KC)=1/2 vecteur(CD)
c)Moktrer que K est l?intersection de (CD) et (MN)
2)a) Exprimer vecteur(EM) en tant que combinaison linéaire de vecteur(EN) et vecteur(EG)
b) Que peut-on dire du point M ?
c) En déduire que (EM) et (GN) sont coplanaires.
d) Exprimer vecteur(GN) comme combinaison linéaire de vecteur(EN) et vecteur(EG)
e)En déduire que (EM) et (GN) sont sécantes. Placer ce point d?intersection J.
Deuxième partie (avec repere)
1) Montrer que (vecteur(AB), vecteur(AD),vecteur(AE)) est une base de l?espace.
On se place maintenant dans le repère (A; vecteur(AB), vecteur(AD),vecteur(AE))
2)Donner les coordonnées de H,M,N et K (sans justification)
3)a) Déterminer les coordonnées d?un vecteur directeur de (CG)
b)Déterminer un couple de vecteurs directeurs du plan (HMN)
c)Montrer que (CG) et le plan (HMN) ne sont pas parallèles. Soit leur intersection note L.
4)a) Justifier qu?il existe un réel a tel que L a pour coordonnées (1;1;a)
b)justifier qu?il existe des réels x et y tele que vecteur(HL)=xvecteur(HM)+yvecteur(HN)
c)Déterminer x et y et en déduire la valeur de a.
d) Placer le point L.
5)On rappel :
Si deux plans sont parallèles alors tout plan qui coupe l?un coupe l?autre et leurs intersections sont parallèles.
Construire la section du cube ABCDEFGH par le plan (HMN), c?est à dire les intersections du plan (HMN) avec les faces du cube.
Partie C : Prduit scalaire
1) Deterliner le produit scalaire vecteur(HM) . vecteur(HN)
2) Soit J, le symétrique du point F par rapport au point B.
Math affirme que les angles MJN et MHN sont de même mesure. A-t-il raison ?
J?ai vraiment du mal avec ces chapitres... il y a plusieurs méthodes possibles donc je trouve ça compliqué...
J?ai pu faire des fautes lorsque j?ai recopié...
Pour la première question il faut faire une combinaison linéaire ?
Merci d?avance
**image tournée**
*** d'un autre modérateur : ce qui n'est visible que si on force le rafraîchissement total de la page par CTRL+F5 sur un PC et par des trucs plus compliqués ailleurs
et au passage ce qui a détruit toutes les apostrophes exotiques du texte 
***
Bonjour
tu as fait des choses ou pas ?
pour la 1re partie, je te conseille de faire ce qu'on appelle une figure "extraite"
tu n'as besoin que du carré ABCD, dessine le et c'est un simple petit exercice de géométrie plane
à toi
Mais pour la première question pour justifier, il faut faire un calcul ou des phrases ?
J'ai fait ça : les vecteurs CD et MN ne sont pas colinéaires (mais il faut le justifier ?) et (CD) et (MN) sont coplanaires et sont donc sécantes ?
(CD) et (MN) sont coplanaires
vecMN=1/2 vecAC
une diagonale et un côté du carré ne sont pas parallèles,
je crois que tout ça est assez évident et tu ne dois pas perdre de temps là dessus
Selon mon cours, vecUet vecV sont colinéaires si il existe un réel x tel que vecV=xvecU donc si vecMN=1/2 vecAC, alors ils sont colinéaires et donc les droites sont soit strictement parallèles ou confondues mais il faut que les deux vecteurs soient non colinéaires pour être coplanaires et sécantes
la droite des milieux (niveau collège) dans le triangle BAC
je te répète que dans un carré, tu fais du travail de géométrie plane !
Donc dire cela est suffisant ? :
(MN) est une droite de milieu et donc une diagonale alors que (CD) est un côté du carré ABCD, (MN) et (CD) ne sont pas parallèles mais sont coplanaires et sont donc sécantes ?
A quoi ça sert de dire : vecMN=1/2 vecAC
pour te remettre en évidence les résultats avec la droite des milieux dans un triangle
et comme maintenant tu connais les vecteurs, c'est une autre manière de le dire...
pas sûre que je puisse poursuivre, mais quelqu'un va prendre le relais
Donc une droite des milieux est égal au un demi côté du cube ?
D'accord merci pas de soucis j'attend l'aide de quelqu'un d'autre
Bonjour,
AC n'est pas un côté (arête) du cube mais la diagonale d'une de ses faces.
comme déja dit cette première question est de la géométrie plane élémentaire de collège dans un carré ABCD qui est dans le plan (ABC) :
on te demande si la droite (MN) coupe ou pas la droite (BC)
on sait déja qu'elles sont toutes deux dans un même plan (car A, B, C, D et donc les milieux M et N dans le plan de la face ABCD du cube)
il reste à justifier qu'elles ne sont ni parallèles ni confondues ce qui est est évident
ca (MN) // (CD) ("droite des milieux") et (CD) coupe,(MN)
comme déja dit il n'est pas nécessaire de chercher plus loin midi à 14 heures...
erreur sur le nommage des points de ma figure :
on te demande si la droite (MN) coupe ou pas la droite (BC) (CD)
on sait déja qu'elles sont toutes deux dans un même plan (car A, B, C, D et donc les milieux M et N dans le plan de la face ABCD du cube)
il reste à justifier qu'elles ne sont ni parallèles ni confondues ce qui est est évident
car (MN) // (CD) (AC) ("droite des milieux") et (CD) (AC) coupe (MN) (CD)
D'accord merci
Et je n'ai toujours pas compris le vecMN=1/2 vecAC de malou
Que permet-il de démontrer et pourquoi il faut le mettre ?
on veut "dire'" que (MN) est parallèle à la diagonale (AC) du carré
soit on le dit directement "(MN) //(AC)" comme en collège en invoquant la droite des milieux
soit on le dit de façon plus "alambiquée"
en disant que (suite à des calculs avec Chasles et de la définition de M et N)
et par conséquent les vecteurs sont colinéaires et donc les droites parallèles
D'accord ensuite je ne vois pas ce qu'il faut faire, j'ai vu sur internet que pour trouver le point d'intersection, il faut faire un système ?
en fait comme on "donne" le présumé point d'intersection
et que ce point K est déja sur (CD) par définition,
il suffit de montrer que K est sur (MN)
pour cela dans le cadre de l'exo on peut chercher à démontrer que les vecteur et
sont colinéaires
(ou une autre combinaison de ces trois points, mais je te propose celle là)
et pour démontrer ça ... bein ... Chasles ... etc
faire des calculs d'équations ce sera pour une autre partie de l'exo, avec des repères etc
pour l'instant il n'y a aucune équation à envisager.
D'accord merci ! Je fais ça demain je dois aller dormir je suis fatigué
Bonne nuit à vous et merci pour votre aide !
Bonjour
raaaaah
encore la même erreur sur les noms de points 
désolé
... etc
en effet M milieu de [AB] et N milieu de [BC] suggère fortement de décomposer "via B"
n'apporterait que des complications
Rebonjour, alors j'ai du mal à comprendre
Pour que K appartiennent à (MN)
Il faut que vecteur(MN)=x*vecteur(MK) non ?
Je ne vois pas où on doit arriver en faisant vecteur(NM)=vecteur(NB)+vecteur(BM)
pour que K appartienne à (MN) ça veut dire que K, M, N sont alignés,
en comprenant ça dans n'importe quel ordre.
au choix car c'est équivalent :
que les vecteurs MN et MK sont colinéaires
que les vecteurs MN et NK sont colinéaires
que les vecteurs MK et NK sont colinéaires
et ce dans le sens qu'on veut pour chacun de ces vecteurs (MN ou NM etc)
je te proposais de prouver que NM et NK écrits dans ce sens là sont colinéaires ,
tout simplement parce que les calculs seront plus faciles
mais si tu veux en choisir une autre de ces 12 façons de calculer, ça marchera aussi, bien entendu ...
"Je ne vois pas où on doit arriver en faisant vecteur(NM)=vecteur(NB)+vecteur(BM)"
parce que ce n'est que le début, un indice de la piste à suivre
on remplace déja MB par sa définition : NB = 1/2 CB car N milieu de [BC]
et BM par sa définition BM = 1/2 BA
on fait pareil avec NK = ... + ... pour y faire intervenir la définition de K (donc le point C etc )
et on compare les deux décompositions
parce que BA = - DC (c'est un carré) etc ...
(on devrait aboutir à NM = -NK au final)
d'où ça vient cette idée de NM versus NK plutôt que d'autres conditions parmi les 12 façons équivalentes précitées?
de Thalès, forme papillon (voir la figure quand on relie N et K)
on est en train de prouver de façon vectorielle une des réciproques valides de Thalès ...
dans le même genre que vecMN = 1/2 vecAC était la traduction vectorielle de "la droite des milieux"
recouvrant la démonstration vectorielle de cette "droite des milieux" :
MN = BN - BM = 1/2 BA - 1/2 BC = 1/2 (BA - BC) = 1/2 AC
Donc :
vNM=vNV+vBM
=v1/2CB+v1/2BA
vNK=vKC+vCN
=v1/2CD+v1/2CB
C'est correcte pour l'instant ? Je ne vois pas quoi faire maintenant
vNK=vKC+vCN erreur de signe, ça c'est vKN, pas grave, on va comparer NM et KN finalement
=v1/2CD+v1/2CB
mais CD = BA non ? et CB = CB (!)
donc comparaison de NM et de KN ?
et conclusion
terminé.
Ah oui ! Donc vNM=vKN
Donc les vecteurs NM et KN sont colinéaires et donc K appartient à (MN) et comme K appartient aussi à (CD), les droites (CD) et (MN) ont comme point d'intersection le point K
moi je verrais plutôt faire intervenir EN :
EM = EN + NM
et NM (ou MN) on a déja vu ça quelque part ...
EG il apparaitra "tout seul" dans le calcul comme étant égal à un autre vecteur avec les sommets du cube
NM =1/2 CA déja vu il y a des lustres
et
EG il apparaitra "tout seul" dans le calcul comme étant égal à un autre vecteur avec les sommets du cube
on ne va pas non plus à chaque fois faire intervenir explicitement Chasles pour dire que certains vecteurs avec directement des sommets d'un cube sont égaux
que BF = DH, que DB = HF etc etc...
c'est considéré comme des "évidences" en regardant la figure ! (des carrés et des rectangles de ce cube)
Merci pour la question 2)b) maintenant :
Je ne vois pas quoi dire... On doit s'aider de la question précédente ?
oui, on doit utiliser le résultat de la 2a
une histoire de vecteurs et de points coplanaires
si U = a V + b W en vecteurs, cela veut dire que les vecteurs U, V, W sont coplanaires
ici les vecteurs EG et EN définissent un plan passant par E
et on demande que dire de M par rapport à ce plan
3 points sont toujours coplanaires !!
de même que deux points sont toujours alignés (!)
pour parler de points coplanaires il faut au moins 4 points
la difficulté de cette question 2b est de ne pas dire la même chose que la 2c !
on peut tourner la difficulté en ne parlant surtout pas du plan (ENG) dans la 2b
mais du plan défini par (E, vecEN, vecEG)
et de dire, après avoir fait remarquer que la relation 2a voulait dire que que vecEM est coplanaire aux vecteurs vecEN et vecEG,
juste que M est dans ce plan défini par (E, vecEN, vecEG)
terminé.
pour la 2)c) il faut faire un calcul ?
Comme M appartient au plan (E, vecEN, vecEG)
et que le plan est définie par le vecteur EN et EG (donc E, N et G sont coplanaires)
Donc M, E, N et G sont coplanaires et donc (EM) et (GN) le sont aussi ?
Je ne sui pas sur du tout...
c'est ça.
presque
(donc E, N et G sont coplanaires)
3 points sont toujours coplanaires !!
E, N er G n'importe où dans l'espace seraient déja "coplanaires" ! il n'y a pas de "donc" et il n'y a pas du tout à le dire.
le plan (E, vecEN, vecEG) est le plan (ENG) un point c'est tout.
et M appartient à ce plan (question2b)
ainsi que toutes les droites définies par n'importe quel choix de deux de ces points {E, G, N, M}
en particulier les droites (EM) et (GN)
il n'y a aucun calcul à faire question 2d
que citer des relations deja connues et rédiger
ces droites sont dans un même plan (question 2c)
il suffit donc uniquement de prouver qu'elles ne sont ni confondues (évident) ni parallèles
si elles étaient parallèles, que pourrait on dire du quadrilatère EMNG ?
rappeler la relation entre MN et EG ...
2d) GN=GE+EN=-EG+EN oui
(GN = EN - EG pour respecter l'ordre dans lequel ils sont cités dans l'énoncé)
et avec cette question 2d, la 2e) se fait autrement : la non colinéarité de EM et de GN
Il ne sont pas colinéaire si il n'y a pas x tel quel EM=xGN ?
Mais je ne peux pas démontrer comme ça qu'il ne sont pas colinéaires, comment je dois le démontrer
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