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Géométrie dans l'espace

Posté par
Amande16a
24-02-22 à 15:08

Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice, merci par avance voici l'énoncé et mes réponses.

L'espace est muni d'un repère orthonormal (O; i,j,k).
1) On considère le plan P passant par le point B(1;-2; 1) et de vecteur normal n(-2; 1; 5) et le
plan R d'équation cartésienne
x + 2y - 7 = 0.

a) Démontrer que les plans P et R sont perpendiculaires.
b) Démontrer que l'intersection des plans Pet R est la droite (deltas) passant par le point C(-1;4;-1)
et de vecteur directeur ū (2 ;-1; 1).
c) Soit le point A(5; -2;-1). Calculer la distance du point A au plan P, puis la distance du
point A au plan R.
d) Déterminer la distance du point A à la droite (deltas).
2) a) Soit, pour tout nombre réel t, le point Mt, de coordonnées
(1 + 2t ; 3- t ; t).
Déterminer en fonction de t la longueur AMt. On note p(t) cette longueur. On définit ainsi une
fonction p de Réel dans Réel.
b) Étudier le sens de variation de la fonction p sur Réel ; préciser son minimum.
c) Interprèter géométriquement la valeur de ce minimum.

Mes réponses

1a.
J'ai fait le produit scalaires des vecteur normaux des plans, le produit est nul donc Pet R sont orthonormaux et sont donc perpendiculaires.

b.
J'ai pris la représentation paramétrique de la droite deltas :
x=-1+2t
y=4-1t
z=-1+1t
Puis j'ai regardé l'intersection de celle-ci avec me plan P puis R en remplaçant x,y et z dans l'équation cartésienne P: -2x +1y+5z-1=0
J'ai utilisé B(1;-2;1) pour trouver d
A chaque fois deltas est contenue dans le plan donc c'est bien l'intersection.

c.
C'est là  où je bloque
J'ai fait en sorte de chercher l'équation de la droite d passant parA et d et perpendiculaires à P.
n(-2;1;5) est vecteur normal de P et donc vecteur directeur de la droite donc d :
                 x=5-2t
                 y= -2+1
                 z=-1+5t
Je cherche l'intersection de d et P pour trouver H  mais le résultat donne 0t=12 ce qui est impossible donc la droite et strictement parallèle au plan mais du coup je peux pas trouver x,y et z qui correspondront au pt H et ensuite trouver AH

d. Je n'ai pas compris comment faire.
2.je suis en train de le faire mais je pense avoir compris ce qu'il fallait faire.

J'espère que vous pourriez m'aider.

Posté par
Physcitech
re : Géométrie dans l'espace 24-02-22 à 15:59

Salut !
Pour la c, y'a une formule qui dit que d(A, (P) ) = \frac{|ax_{A} + by_{A} + cz_{A} + d|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2} }}, tu connais A, tu connais P, t'as plus qu'a remplacer.

Posté par
Amande16a
re : Géométrie dans l'espace 24-02-22 à 16:38

D'accord, merci donc là le résultat c'est directement la distance ?

Posté par
Amande16a
re : Géométrie dans l'espace 24-02-22 à 16:52

D'accord, merci Physcitech , donc là le résultat c'est directement la distance ? Je n'ai rien d'autre a faire ? Et est-ce que tu pourrais aussi m'aider pour  la d.  

Posté par
malou Webmaster
re : Géométrie dans l'espace 24-02-22 à 18:04

Bonjour Amande16a

petit dépannage en l'absence de Physcitech

as-tu cette formule dans ton cours ? sinon ton prof va se demander comment tu as sorti ce résultat ...

d) as-tu fait un croquis de la situation ? si tu ne l'as pas fait, je te conseille de le faire
et il me semble qu'un petit coup de Pythagore devrait régler le problème

Posté par
Amande16a
re : Géométrie dans l'espace 24-02-22 à 18:48

Bonjour malou ,
J'ai fait un croquis mais il m'aide pas trop, ça donne ça

Géométrie dans l\'espace

Posté par
malou Webmaster
re : Géométrie dans l'espace 24-02-22 à 18:54

on t'a fait calculer la distance de A au plan R, fais apparaître cette distance AH (par exemple) sur ton dessin
de même fais apparaître AK distance de A au plan P

et que peut bien être la distance de A à la droite (d) ?

Posté par
Amande16a
re : Géométrie dans l'espace 24-02-22 à 19:11

Est-ce que si je calcule AC ça me permet de trouver la distance de deltas en sachant que deltas passe par C ?

Posté par
malou Webmaster
re : Géométrie dans l'espace 24-02-22 à 19:32

ta droite (d) contient une infinité de points
si on t'avait donné un autre point, tu aurais envie de calculer une autre distance si je comprends ton raisonnement (qui n'en est pas un)

comment fait-on pour calculer la distance d'un point à une droite de l'espace ?

fais apparaître sur ton dessin les points H et K que j'ai introduits au-dessus,et réfléchis


Je ne faisais que passer et je laisse volontiers la main à qui peut aider. Merci.

Posté par
mathafou Moderateur
re : Géométrie dans l'espace 24-02-22 à 20:33

Bonjour,

idem.

par définition (géométrique) la distance d'un point A à une droite d sera la mesure de AN, avec N un point de d tel que AN est orthogonal à d
il n'y a aucune chance que N soit par hasard en C
(que \vec{AC} soit orthogonal à d)

pour faire une figure, on est en perspective 3D et rien ne permet de savoir comment est A par rapport aux plans
ni même si A est correctement placé par rapport au plans et à C
(plans et droites sont "de biais" dans le repère de l'espace (O; i,j,k). tu as choisi de tourner le repère de sorte que ces plans soient vus R horizontal et P vertical, ce qu'ils ne sont pas en réalité)
il s'agit donc ici d'une figure "de principe"
et dans cette figure de principe on peut choisir H un peu n'importe où sur le dessin, du moment que (AH) est verticale sur le dessin, et décréter qu'il est dans R ...
pour que cela paraisse cohérent on peut par exemple le mettre là (au hasard) :

Géométrie dans l\'espace

ensuite le point K est alors imposé :
on peut le construire sur la figure, sachant que les plans sont orthogonaux...
("réfléchir" disait malou ...)
edit : et que "par convention" cette perspective montre le plan P orthogonal au plan de face de la figure)



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