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Géométrie dans l'espace
Bonjour,
J'aurais besoin d'aide pour cet exercice, merci par avance voici l'énoncé et mes réponses.
L'espace est muni d'un repère orthonormal (O; i,j,k).
1) On considère le plan P passant par le point B(1;-2; 1) et de vecteur normal n(-2; 1; 5) et le
plan R d'équation cartésienne
x + 2y - 7 = 0.
a) Démontrer que les plans P et R sont perpendiculaires.
b) Démontrer que l'intersection des plans Pet R est la droite (deltas) passant par le point C(-1;4;-1)
et de vecteur directeur ū (2 ;-1; 1).
c) Soit le point A(5; -2;-1). Calculer la distance du point A au plan P, puis la distance du
point A au plan R.
d) Déterminer la distance du point A à la droite (deltas).
2) a) Soit, pour tout nombre réel t, le point Mt, de coordonnées
(1 + 2t ; 3- t ; t).
Déterminer en fonction de t la longueur AMt. On note p(t) cette longueur. On définit ainsi une
fonction p de Réel dans Réel.
b) Étudier le sens de variation de la fonction p sur Réel ; préciser son minimum.
c) Interprèter géométriquement la valeur de ce minimum.
Mes réponses
1a.
J'ai fait le produit scalaires des vecteur normaux des plans, le produit est nul donc Pet R sont orthonormaux et sont donc perpendiculaires.
b.
J'ai pris la représentation paramétrique de la droite deltas :
x=-1+2t
y=4-1t
z=-1+1t
Puis j'ai regardé l'intersection de celle-ci avec me plan P puis R en remplaçant x,y et z dans l'équation cartésienne P: -2x +1y+5z-1=0
J'ai utilisé B(1;-2;1) pour trouver d
A chaque fois deltas est contenue dans le plan donc c'est bien l'intersection.
c.
C'est là où je bloque
J'ai fait en sorte de chercher l'équation de la droite d passant parA et d et perpendiculaires à P.
n(-2;1;5) est vecteur normal de P et donc vecteur directeur de la droite donc d :
x=5-2t
y= -2+1
z=-1+5t
Je cherche l'intersection de d et P pour trouver H mais le résultat donne 0t=12 ce qui est impossible donc la droite et strictement parallèle au plan mais du coup je peux pas trouver x,y et z qui correspondront au pt H et ensuite trouver AH
d. Je n'ai pas compris comment faire.
2.je suis en train de le faire mais je pense avoir compris ce qu'il fallait faire.
J'espère que vous pourriez m'aider.
Salut !
Pour la c, y'a une formule qui dit que , tu connais A, tu connais P, t'as plus qu'a remplacer.
D'accord, merci Physcitech , donc là le résultat c'est directement la distance ? Je n'ai rien d'autre a faire ? Et est-ce que tu pourrais aussi m'aider pour la d.
Bonjour Amande16a
petit dépannage en l'absence de Physcitech
as-tu cette formule dans ton cours ? sinon ton prof va se demander comment tu as sorti ce résultat ...
d) as-tu fait un croquis de la situation ? si tu ne l'as pas fait, je te conseille de le faire
et il me semble qu'un petit coup de Pythagore devrait régler le problème
on t'a fait calculer la distance de A au plan R, fais apparaître cette distance AH (par exemple) sur ton dessin
de même fais apparaître AK distance de A au plan P
et que peut bien être la distance de A à la droite (d) ?
Est-ce que si je calcule AC ça me permet de trouver la distance de deltas en sachant que deltas passe par C ?
ta droite (d) contient une infinité de points
si on t'avait donné un autre point, tu aurais envie de calculer une autre distance si je comprends ton raisonnement (qui n'en est pas un)
comment fait-on pour calculer la distance d'un point à une droite de l'espace ?
fais apparaître sur ton dessin les points H et K que j'ai introduits au-dessus,et réfléchis 
Je ne faisais que passer et je laisse volontiers la main à qui peut aider. Merci. 
Bonjour,
idem.
par définition (géométrique) la distance d'un point A à une droite d sera la mesure de AN, avec N un point de d tel que AN est orthogonal à d
il n'y a aucune chance que N soit par hasard en C
(que soit orthogonal à d)
pour faire une figure, on est en perspective 3D et rien ne permet de savoir comment est A par rapport aux plans
ni même si A est correctement placé par rapport au plans et à C
(plans et droites sont "de biais" dans le repère de l'espace (O; i,j,k). tu as choisi de tourner le repère de sorte que ces plans soient vus R horizontal et P vertical, ce qu'ils ne sont pas en réalité)
il s'agit donc ici d'une figure "de principe"
et dans cette figure de principe on peut choisir H un peu n'importe où sur le dessin, du moment que (AH) est verticale sur le dessin, et décréter qu'il est dans R ...
pour que cela paraisse cohérent on peut par exemple le mettre là (au hasard) :
ensuite le point K est alors imposé :
on peut le construire sur la figure, sachant que les plans sont orthogonaux...
("réfléchir" disait malou ...)
edit : et que "par convention" cette perspective montre le plan P orthogonal au plan de face de la figure)
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