J'ai oublié la figure la voici…

Bonsoir,

je vais t'aider pour le début seulement, car je ne pourrai peut-être pas rester très longtemps.

1) V=1/3*B*h    oui   mais ta réponse est fausse.
quelle base as tu choisie ? que vaut la hauteur ?
rectifie ta réponse.  

Merci pour votre réponse, j'ai choisis la base ABD , la hauteur est défini par la distance du point M, donc M est définie par AM=1/3AE

Calcul de la base ABD :
S = 1/2 * AB*AD=1/2*1*1 =1/2

Donc le Volume :
V =1/3*B*h = 1/3 * 1/2 * 1/3 = 1/18

Est-ce correct ?

Oui,  1/18  pour ce  volume , c'est correct.

Q2)  (la suite en vecteurs)

BK.AM = ?
l'énoncé te dit que  BK = 9/11   BM   +   1/11   BD

note que BM =  BA + AM
et   BD = BA + AD
remplace   BM et BD  

écris alors   BK. AM   et développe.

BM = BA + AM

Leurs coordonnées :
BA(-1;0;0)  ;    AM(0;0;1/3)
donc les coordonnées de BM sont : BM(-1;0;1/3)

Le vecteur BK est défini par :
BK=9/11BM + 1/11BD

Coordonnée de BD -> BD(0;1;0)

Calcul Coordonné de BK :
BK = 9/11(-1;0;1/3)+1/11(0;1;0)

BK(-0,8182 ; 0,0909 ; 0,2727)

BK.AM = (-0,8182)*0 + 0,0909 * 0 + 0,2727*1/3    
                     = 0,0909

C'est correct ?

par rapport à ce que je t'ai dit (utiliser la relation de Chasles, pas les coordonnées), tu as pris carrément une autre voie.

Tu trouverais une bonne réponse si tu gardais les fractions plutot que de donner des valeurs arrondies.
Pour répondre avec les coordonnées, tu préciseras en tout premier lieu le repère dans lequel tu te places.

En valeur exacte le résultat est  BK.AM =  1/11.
la valeur 0,909  est  approchée mais inexacte.

tu calcules BK.AD ?

Mince, je corrigerais sur ma copie

Pour BK.AD

BK = 9/11(BA+AM) + 1/11(BA+AD)

BK.AD = (9/11(BA+AM)+1/11(BA+AD)*AD
                = 1/11

Nous retrouvons la même chose, est-ce correct ?

J'ai essayer d'avancer un peu sur l'autre question

2.b) Nous savons que MD = AD-AM donc :
     BK.MD = BK * (AD-AM)
     BK.MD = BK.AD-BK.AM
Nous avons déjà trouver :
BK.AM = 1/11
BK.AD = 1/11

BK.MD = 1/11-1/11 = 0

Que peut-on en déduire ?

On peut en déduire que le produit scalaire de BK.MD est perpendiculaire car il est égal à 0. Cela indique donc qu'il y'a un angle droit.

BK.AD = 1/11  :  OK

BK.MD = 0   OK aussi

on peut en déduire que (les vecteurs BK et MD sont orthogonaux)  que (BK)  est perpendiculaire à (MD).

c)  On admet que les droites (DK) et (MB) sont orthogonales.

Que dire du point K  ?

place toi dans le triangle MBD pour répondre.

NB :
"que le produit scalaire de BK.MD est perpendiculaire car il est égal à 0. Cela indique donc qu'il y'a un angle droit."
un produit scalaire est une valeur réelle, tu ne peux pas dire qu'un produit scalaire est perpendiculaire, ca ne veut rien dire.
Tu peux dire : "le produit scalaire des deux vecteurs est égal à 0"
ou  " les vecteurs BK et MD sont orthogonaux"  ou "les droites (BK) et (MD) sont perpendiculaires (si elles sont dans le même plan). "
OK ?

C'est noté merci

c) Admettant que les droites (DK) et (MB) sont orthogonales et en se plaçant dans le repère MBD, le point K doit se situer sur la droite perpendiculaire à  passant par D. Cela signifie que  K est à l'intersection des plans perpendiculaires définis par  MBD et DK.

il ne s'agit pas de se placer dans le "repère MBD"  (que veux tu dire au juste ?), mais dans le triangle MBD

BK MD   :  comment peux tu nommer la droite BK  dans ce triangle ?  (géométrie de collège).

C'est une hauteur ?

oui  !      c'est la hauteur issue de B

et  avec DK MB   que peux tu dire de la droite (DK) dans ce meme triangle ?

tu en déduis que K est  un point particulier pour ce triangle...

Donc K est l'orthocentre du triangle MBD ?

parfait !

3a)
AK. MB =  (AD + DK). MB =  AD. MB   +  DK.MB
DK. MB = 0
reste AD.MB = AD. (MA + AB) =AD.MA  +  AD.AB = 0
donc   AK.MB = 0


je te laisse faire de même pour AK.MD
  

Super !

3.a).     AK. MD = (AD+DK). MD
(AD+DK).MB  =  AD.MD + DK. MD = AD.MD + 0              
                AD.MB = (MA+AD) + AD.MA+AD = 0 + AD.AD

Ainsi AK.MD = 0
          

parfait.

AK est donc perpendiculaire à deux droites sécantes du plan (M, B, D). ==>  AK est orthogonale à ce plan.
A n'appartient pas à ce plan. K appartient à ce plan (il est le point d'intersection de deux droites de ce plan).
donc K est le projeté orthogonal de A  sur le plan (M, B, D).

OK ?


4a)
calcule les longueurs des segments MD et MB

3.a).     AK. MD = (AD+DK). MD
(AD+DK).MB  =  AD.MD + DK. MD = AD.MD + 0              
                AD.MB = (MA+AD) + AD.MA+AD = 0 + AD.AD


j'ai dit parfait un peu vite .....
tu aurais dû écrire :
AD. MD  =  AD.(MA + MB) = AD.MA  +  AD.MB  =  0

D'accord merci !

4.a)
      Longueur de MB : MB est une arête du cube, sa longueur est L
      Longueur de MD : De même MD étant une autre arête du cube, sa longueur est aussi L

Puisque MB = MD = L , cela montre que le triangle BDM a au moins deux côtés de même longueur, ce qui en fait un triangle isocèle par définition

????

MB n'est pas du tout une arete du cube. Sa longueur ne vaut pas 1...

MB est l'hypoténuse dans le triangle MAB rectangle en A...

il est tard, je quitte.

4a) le triangle BDM est isocèle en M.
4b)  place  I milieu de BD.
tu peux utiliser les coordonnées de I pour calculer IM
tu sais que BD = 2
et l'aire de BDM  =  IM*BD / 2

4c) exprime le volume de ABDM  en prenant MDB comme base et AK  comme hauteur

V =  1/3   *  (aire MDB) * AK
tu connais V (cf question 1), tu connais aire MDB, tu peux trouver AK.
C'est la distance de A au plan (MDB).

Bonne nuit.

4.a) Longueurs des côtés dans le triangle (MAB):

• (MA = 1) et (AB = 1), car ce sont des arêtes du cube.
• (MB) est l'hypoténuse, donc:

MB= MA^2+AD^2 = 1^2+1^2 = 2

        •  (MD) est une diagonale sur la face du cube, donc:
1^2+1^2 = 2

       • (BD) est également une diagonale sur une autre face du cube, donc:
1^2+1^2 = 2

Puisque (MB = MD = BD = 2le triangle (BDM) a tous ses côtés de même longueur donc est un triangle isocèle

mmhh..

MA ne mesure pas 1  mais 1/3

MB ²  =  (1/3)² + 1² =  10/9

MD  est l'hypoténuse du triangle MDA rectangle en A
MD² = 10/9
le triangle MDB est isocèle en M.

As tu fini ton exercice ?

Bonjour, oui merci j'ai avancer sur les 2 derniers

4b) On sait que BD 2 et que l'air du triangle BDM = IM*BD/2

Le point I a pour coordonner (0,5 ; 0,5; 0)

IM = I-M =  (0.5 - 0, 0.5 - 0, 0 - 1/3
IM = (0,5 ; 0,5 ; -1/3)

IM = 0,5²+0,5² + (-1/3)²
IM = 0,25 + 0,25 + 1/9
IM = 2/4 +1/9
IM = 18/36 + 4/36
IM = 22/36
IM = 22/6

L'air maintenant :

A= IM * BD \ 2
A = (22/6 * 2)/2
A = (22*2)/12
A= 44/12
A=(211)/12
A= 11/6

Cela montre que l'air du triangle BDM est 11/6

4.c) L'aire de la base MBD comme 11/6

V= 1/3 * aire de MBD *AK

AK= 3V / aire de MBD
AK = (3*(1/18) / 11/6
AK = 1/6 / 11/6
AK = 1/11

je vois que tu as bien avancé.

IM = 22  /  6    

aire = 11 / 6

   on est d'accord

et  AK =  1 / 11   =  11 / 11  (souvent, on préfère ne pas laisser la racine au dénominateur )

je vois que tu es parvenue à terminer.   As tu tout compris ?
Tu as d'autres questions ?

D'accord je note, je n'ai pas d'autre question, merci pour votre aide en tout cas et bonne fin de soirée à vous

je t'en prie, à une prochaine fois peut-être.