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Géométrie dans l'espace
Bonjour, j'ai des difficultés pour un exercice sur de la géométrie dans l'espace, je ne sais pas par où commencer, pourriez vous, pour commencer, me donner des pistes s'il vous plait :
Dans l'espace affine, soit ABCD un tétraèdre régulier de coté a, et O son centre de gravité. Exprimer (produit scalaire des vecteurs AB et AC) en fonction de a, puis démontrer les propositions suivantes :
(a) Deux arêtes opposées quelconques sont orthogonales.
(b) Chaque médiane est orthogonale à la face opposée.
(c) Le centre de la sphère circonscrite au tétraèdre est 0.
Si quelqu'un aurait une idée, merci 
Et bien pour commencer je ne sais pas comment exprimer le produit scalaire de AB et AC, on ne possède pas leurs coordonnées, donc comment faire ? 
Donc l'expression en fonction de a serait :
AB . AC = a² x cos(AB, AC) (avec AB et AC des vecteurs bien sûr)
C'est bien ça ??
D'accord donc pour la question suivante (a), j'imagine qu'il faut manipuler des vecteurs afin d'arriver à quelque chose d'interressant, mais partir d'où ? De l'expression trouvée ? (AB . AC = a²/2)
A priori, pour la suite, ce calcul ne sert à rien.
Concernant la question (a), dans les fiches de première ici sur l'ile, on trouve ça 
Un exercice de tétraèdre
Sachant qu'un tétraèdre régulier est un tétraèdre dont toutes les faces sont des triangles équilatéraux
Il me semble que c'est est un segment de droite entre un sommet du tétraèdre à l'isobarycentre (centre de gravité) de la face opposée de ce sommet
Il n'est pas question du centre de gravité d'une face quelconque dans la question (a). Je vois donc mal son utilisation pour la (b).
En revanche, la technique avec des produits scalaires de vecteurs orthogonaux est bien vue...
bonsoir,
pour la a :
pour la b : du même genre (avec la définition vectorielle d'un isobarycentre)
pour la c : les 4 médianes d'un tétraèdre sont concourantes en ...
(par associativité des barycentres)
or la question b dit que ...
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