Bonjour,
Vous me pardonnerez, j'espère, le côté scolaire de ce problème présenté dans le forum détente.
Sont données deux droites de l'espace et orthogonales et non coplanaires, leur perpendiculaire commune  ainsi qu'un plan perpendiculaire à repéré par le point de son intersection avec :



Soit l'ensemble des points équidistants des droites et et la section de cette surface par le plan
Avec un repère ad hoc, de petits calculs cartésiens accessibles à un lycéen permettent d'affirmer que est un paraboloïde hyperbolique et que est une hyperbole équilatère. On peut les faire si on le souhaite mais là n'est pas la question.

Voici une figure où est construite l'hyperbole point par point :



Les points sont reportés et est le milieu de
est un point de la perpendiculaire en à la droite
La parallèle en à coupe la perpendiculaire en à en
La perpendiculaire issue de à la droite coupe la médiatrice de en
Le cercle de centre passant par recoupe la droite pointillée en et points courants de la section.

Un lien pour bien comprendre ce qui se passe :

Je ne suis pas arrivé sur cette construction par hasard : elle est issue de la géométrie descriptive
Je n'ai utilisé à aucun moment la nature (paraboloïde hyperbolique) de la surface . On peut poursuivre les calculs pour justifier la construction.

Mais voici la question : peut-on la justifier géométriquement ?

Il n'est pas nécessaire de blanquer