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Géométrie dans l espace : p tite question d orthogonalité
Bonjour !
Je suis en train de faire un devoir maison sur de la géométrie dans l'espace et je me retrouve bloquée pour une question !
Tout d'abord, j'aimerai savoir si, pour prouver qu'une droite est orthogonale à un plan, il est suffisant de prouver que cette droite est perpendiculaire à une seule droite de ce plan. Merci de vos réponses.
Ensuite, j'ai donc un problème avec un exercice. Le sujet est : " Soit ABCDEFGH un cube,
le centre de la face CDHG et I le milieu de l'arête [EH]. " Les questions ( à ne résoudre qu'avec les propriétés d'incidence ! ):
1) Soit J le milieux le l'arête [HG]. Montrer que la droite (IG) est orthogonale au plan (JF). J'ai réussi cette question
2) Montrer que (AG) est orthogonale à (FCH).
3)En déduire que (F) est orthogonale au plan (AGI). J'ai réussi cette question (en utilisant l'affirmation de la question 2 mais sans avoir réussi à démontrer cette question 2 ! )
Comme vous pouvez le voir, il n'y a qu'une question que je n'ai pas réussi mais j'ai préféré mettre tout l'exercice.
Merci beaucoup de votre aide.
Salut !
Alors, une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à toutes les droites du plan. En effet, une seule ne suffit pas. Par exemple, si tu te places dans un repère (0,x,y,z), la droite oy est perpendiculaire à la droite 0x, mais n'est pas orthononale au plan (xOy).
Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit en fait de montrer qu'elle est perpendicualaire à deux droites NON PARALELLES de ce plan.
2/ Tu as AG dans le plan AGE. Or GE est perpendiculaire à FH, et EA aussi. Donc FH est orthogonale au plan GEA, donc à toute droite de ce plan, donc FH est perpendiculaire à GA.
Par symétrie, tu as exactement de la même façon GA perpendiculaire à CF et à CH (mais une seule suffit) et tu as bien AG orthogonale à FCH.
J'espère que ca te convient comme réponse !
@+
WS
Merci Zenon !
Je vais essayer avec ce que tu m'as dit !
Comme tu viens de m'apprendre qu'il faut qu'une droite soit absolument orthogonale à 2 droites sécantes d'un plan pour prouver que cette droite est orthogonale au plan, je me trouve face un problème pour la question 1 ! En effet, je n'arrive pas à prouver que J est orthogonale à (IG). Est-ce que tu pourrais m'aider ?
Merci !
ba c'est trés simple met toi dans un repère, je pense que se sera la meilleure solution tel le repère (H, HE, HG , HD) détermine les vecteurs IG et Jet montre qu'ils sont orthogonaux
soit IG.J = 0
Salut !
Petite triche pour aller plus vite, on utilise le produit scalaire, si tu connais.
Tu fabrique un repère orthonormé, par exemple le repère de centre C, de veteurs de base CD, CB, CG.
On a donc oméga(1/2,1/2,1/2), J(1/2,0,1) puis omegaJ(0,-1/2,1/2)
De même, I(1,1/2,1), G(0,0,1) puis IG=(-1,-1/2,0)
le produit scalaire de omegaJ et IG donne
omegaJ.IG=1/4... T'es sur que tes droites sont perpendiculaires ???
J'me pose la question là. J'suis pas certain que ca marche... Ou bien j'ai fait une erreur. Tu me dis ce que t'en pense ? Si jamais j'dis une connerie, j'veux bien revoir tout ca, mais j'ai un petit doute là...
WS
pour ma part je trouve IG(-1/2 ; 1 ; 0)
et J(0;0;1/2) regarde
IG.J= 0* (-1/2)+ 0*1+ 1/2*0
= 0
Les vecteurs IG et J sont biens orthogonaux
Salut
tu t'es trompé dans dans ton repère
(1/2;0;1/2) et donc omegaJ(0,0,1/2) tu calcules et tu retrouve pareil
Salut titi !
Bon, j'aurais du relire l'énoncé, j'l'ai pas fait entre mes deux réponses, pour moi oméga, c'é&tait le centre du cube 
Désolé
Salut, bonne soirée !
WS
Salut !
Merci beaucoup pour vos réponses mais je n'ai pas le drot d'utiliser le produit scalaire ! Je dois utiliser les propriétés d'incidences !
J'ai quand même réfléchi et j'ai trouvé une solution qui ne marche que si :" Si deux plans sont orthogonaux, alors toute droite du premier plan est orthogonale aux droites du deuxieme plan. "
Est-ce que c'est vrai ?
Merci
Salut !
et bien, deux plans non parallèls se coupent selon une droite delta. Comme delta n'est pas orthogonale avec elle même, ta proposition n'est pas possible... Désolé !
J'essaie de voir tout de même !
Bon courage !
WS
Ah bon ....
Comment prouver que (J) est orthogonale à (GI) alors ?
Et pour (EA) et (GE) ?
Merci beaucoup pour ton aide Zenon, c'est sympa de ta part !
Salut !
Alors, tu as omegaJ orthogonale à GH, et omegaJ orthogonale à GF, donc omegaJ orthogonale au plan GHE, qui contient IJ, donc omegaJ othogonale à IJ.
De même EA est orthogonale au plan GHI parce que EA est orthogonale à EH et à GH. Donc EA est orthogonale à toute droite du plan GEH, donc à GE !
Voilou ! J'espère que ca va là !
WS
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