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Niveau terminale
Géométrie dans l'espace : [ PRODUIT SCALAIRE ].
Posté par Carmela
Bonsoir,
Je m'adresse à vous pour vous poser une question sur le produit scalaire. En cours, nous avons appris la méthode qui permet de déterminer la distance d'un point à un plan, cependant je remarque que nous n'avions pas utilisé la formule suivante :
(|axA + byA + czA + d |) / ( 
a²+b²+c²)
Mais on avait utilisé une autre méthode que j'en'ai pas vraiment compris. Pourriez vous à l'aide de l'exemple que je vais mettre ci dessous, m'expliquer cette autre méthode. Sachant qu'avec la formule, elle n'est pas exigible au bac et c'est mieux que d'avoir compris la méthode de la prof. Merci d'avance pour vos futures réponses.
EXEMPLE :
On considère le plan (P) d'équation 3x + 2y +4z + 1 = 0
On vous donne le point A(7;5;6)
Calculez la distance du point A au plan (P).
Bonsoir,
Tu sais que le vecteur de coordonnées
est normal au plan ax + by + cz + d = 0
Si tu appelles H le projeté orthogonale de ton point A sur le plan tu as:
Et les 2 étant colinéraires:
Et comme HA est ce que tu cherches, la formule proposée n'est plus très loin ...
Ext ce plus clair?
Oui on obtient finalement :
a.xA + byA + czA + d
HA = --------------------
a²+b²+c²
Cependant, je voudrais savoir si il y'avait une autre méthode afin de déterminer la distance HA autre que la démonstration de cette formule.
Re,
Peux tu nous donner des éléments même partiels de cette demonstration qui t'as posé problème? Je pense qu'il s'agit d'une formulation différente du même raisonnement disant:
- la distance de A au plan est celle de A et de son projeté orthogonal H sur le plan
- H appartient au plan
- tout vecteur normal au plan est colinéaire à
salut,
1/ représentation paramétrique de la droite D orthogonale à P passant par A
2/ intersection H de D et de P
3/ calcul de AH
Oui par le biais de cette exercice corrigé fait en cours
EXERCICE :
L'espace est rapporté au repère orthonormé (O;
;
;
). On considère le point A de coordonnées (-7;0;4) et le plan P d'équation x + 2y - z = 0. On veut calculer la distance d du point A au plan P, c'est-à-dire la plus petite des longueurs AM, lorsque M décrit le plan P. Soit H le point d'intersection de P et de la droite 
passant par A et perpendiculaire à P : H est appelé le projeté orthogonal de A sur P et on a d=AH
1°) Déterminer une représentation paramétrique de la droite .
2°) Déterminer les coordonnées du point H intersection de et P.
3°)En déduire la distance de A à P.
CORRIGÉ :
1°) On choisit 
(1;2;-1) comme vecteur normal à P : dirige donc la droite .
La droite a pour représentation paramétrique x = -7+t
y = 2t
z = 4 - t avec t
.
2°) Le point H appartient à P donc le paramètre t associée à H vérifie :
0(-7 + t) + 2 x 2t -(4 - t) - 1 = 0, d'où t = 2 et donc H(-5;4;2)
3°) On le vecteur AH de coordonnées (2;4;-2) donc AH = 4 + 16+ 4 = 24 = 26
Avec t=2, on sait que le vecteur AH = 2, donc AH = 2 |||| = 26 .
Désolé de vous répondre un peu tardivement 
C'était long à écrire.
Bonsoir alb12,
Pourrais tu me faire un exemple pour je puisse comprendre davantage. Merci Cordialement.
Ok donc si j'ai bien compris :
Etape 1 : On détermine la représentation de la droite (d) puis on montre que la droite (d) et orthogonale au plan P en un point qui est : A
Etape 2 : J'ai pas vraiment compris. Est on censé déterminer les coordonnée de H ?
Etape 3 : Puis grâce aux coordonnées des points, on calcule le vecteur puis on détermine la longueur de AH c'est sa grosso modo ?
J'ai compris de moi même ! Merci pour vos réponses et votre patience je vous souhaite de passer une bonne soirée 
.
1/ pour trouver une représentation paramétrique de d on utilise le fait qu'elle est dirigée par un vecteur normal du plan ici [1,2,-1] et qu'elle passe par A
2/ on remplace dans l'équation du plan x,y,z par les expressions de la représentation de d. On obtient la valeur de t qui donne les coordonnées du point H
3/ on calcule la longueur AH