Exercice 1 Étude du centre de gravité. Soit un triangle ABC avec A, B et C non-alignés ; A'
le milieu de [BC], B' le milieu de [AC] et C' le milieu de [AB]. Pour un point G du plan, on
note R la relation :
→        →        →       →
GA + GB + GC = 0
Le but du problème est de démontrer l'existence et l'unicité de G, ainsi que de la caractériser.
                                              →          →
1) Démontrer que :  B'A' = AC'.

2) Démontrer l'équivalence suivante :
                       →         →
R ⇐⇒ 3/2AG = AA'

                                                                                      →        →
3) On pose maintenant G' tel que 3/2AG'= AA' , démontrer que G' existe et est unique.

                                                                                                          →         →                    →          →  
4) Démontrer que le point G' vérifie aussi : 3/2BG' = BB' et 3/2 CG' = CC' .
5) En déduire que les trois médianes d'un triangle sont concourantes.
6) Enfin, en utilisant 2), démontrer que le point G' vérifie R.
7) Ce qui a été démontré reste-t-il vrai si A, B et C sont alignés ?