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Géometrie de l'espace
Bonsoir,
J'aimerais que vous m'aidez à traiter cet exercice dont l'énoncé est:
Soit le cube ABCDEFGH representé par la figure ci-contre. L'espace est orienté par le repère orthonormal direct (;
;
;
) et on note (P) le plan (AFH).
1) Déterminer les coordonnées des points E et F.
2)Démontrer que la droite (EC) est orthogonale au plan (P).
3)Démontrer qu'une équation cartésienne du plan (P) est: x-y+z-1=0.
4)Soit I le projeté orthogonal de E sur le plan (P). Déterminer les coordonnées du point I et en déduire la distance de E à (P).
5) (S) est l'ensemble des points M de l'espace dont les coordonnées (x;y;z) vérifie l'équation: x²+y²+z²-2x-2z-2=0. Déterminer la nature et les éléments caractérisque de l'intersection de (S) et (P).
Ma piste:
1) les coordonnées de E et F sont :
E(1;0;1) , F(1;1;1).
2) D'après le cours, une droite est orthogonal à un plan si cette droite est orthogonale à deux droites sécantes incluses dans le plan.
En considerant les droites sécantes(AF) et (HA), je n'arrive pas à montrer qu'elles sont orthogonales à la droite (EC)...
Bonjour,
pour montrer que des droites sont orthogonales,
prends un vecteur directeur de chacune,
et montre qu'ils sont orthogonaux,
à l'aide de leurs coordonnées.
Tu as dans ton cours un critère pour reconnaître des vecteurs orthogonaux.
Cordialement,
--
Mateo.
2)Ok
3)Ok
4) j'ai trouvé I(2;-1;2) et la distance du point E au plan P est d=√3/3
5) D'abord, S est une sphère de centre E(1;0;1) et de rayon r=2. Comme d<r alors, l'intersection de S et (P) donne un cercle de centre I(2;-1;2) projeté orthogonal de E sur le plan (P) et de rayon r' tel que r'²=r²-d² => r'=√11/√3.
Ça peut aller ?
Voici comment j'ai fait,
soit I(x,y,z) .EI est un vecteur normal à (P) or EI(x-1;y;z-1).
l'équation de P montre qu'un de ses vecteurs normal est n(1;-1;1). En égalisant les deux coordonnées ie
x-1=1
y=-1
z-1=1
j'ai déduis que I(2;-1;2).
Tu as l'équation de
Et .
Tes coordonnées de doivent vérifier l'équation de
.
Visiblement, il y a un problème.
Bonsoir,
soit I(x,y,z) .EI est un vecteur normal à (P) or EI(x-1;y;z-1).
l'équation de P montre qu'un de ses vecteurs normal est n(1;-1;1). En égalisant les deux coordonnées ie
Par contre, il doit être colinéaire à n.
EI = tn (en vecteur). Cherche x, y z en fonction du réel t ; puis trouve t en utilisant L'équation du plan P.
En admettant que que le vecteur normal de (P) est colinéaire à au vecteur EI, je trouve que I a pour coordonnées (⅔;⅓;⅔).
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