1 je n'ai pas fait le dessin mais as tu essayé avec les coordonnées
des points de dire que P se situe à 2/3  du sommet sur les supposées
médianes, ou bien avec la relation vecteur(PA) + vecteur(PA1) + vecteur
(PC)=0

2 tu dois la encore pouvoir calculer les coordonnées du milieu des
diagonales

si tu n y arrives pas ainsi réécrit, je chercherai plus, courage!

P étant l'homothétique de C par l'homothétie de rapport
1/3 et de centre B, donc:

BP=(1/3)BC;  BP et BC sont des vecteurs.

1) a) CB est la médiane de AA1C car B est le milieu de AA1 car A1 est
le symétrique de A par rapport à B.

CP=CB+BP; chasles
    =CB+(1/3)BC
    = CB-(1/3)CB
    =2/3CB

donc P se trouve au 2/3 du sommet C de la médiane du triangle AA1C.

P est donc le centre de gravité ou isobarycentre de AA1C.

b) AP coupe CA1 en A2

comme AP passe par le centre de gravité P du triangle AA1C  et que A, P
et A2 sont alignés (par définition de A2) donc AA2 est la médiane
de AA1C issue de A. Donc AA2 coupe CA1 en son milieur A2.

les rapports suivants:
CB'/CA=1/2 car B' est le milieu de CA.

CA2/CA1=1/2 car A2 est le milieu de CA1

donc CB'/CA=CA2/CA1=1/2  d'après la réciproque du théorème de
thalès les deux droite B'A2 et AB sont parallèles.

de la même manière:

A1A2/A1C=1/2 car A2 est le milieu de A1C
A1B/A1A=1/2 car B est le milieu de A1A.

donc A1A2/A1C=A1B/A1A=1/2 d'après la réciproque du théorème de thalès
les deux droite BA2 et AC sont parallèles.

en résumé on a montré que:
les deux droite BA2 et AC sont parallèles.
et les deux droite B'A2 et AB sont parallèles.

donc AB'A2B  est un parallélogramme.

I étant l'intersection de ses deux diagonales BB' et AA2
donc AA2 coupe BB' en son milieu I.

comme la droit AA2 est la droit AP donc AP coupe BB' en son milieu
I.

voila pour la démonstration géométrique.

2) par les complexe: donnez moi ce qui vous est demandé et je me ferais
un plaisir de vous répondre?

je vous remercie