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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Géométrie différentielle

Posté par
toureissa
11-02-20 à 08:29

Bonjour,

Dans mon cours de géométrie, on dit que si le jacobienne d'une application différentiable est nul en un point , alors elle n'est ni immersion ni une submersion.

Cependant, je comprend pourquoi elle n'est pas une immersion :
Car  la courbe n'est pas régulière en ce point et que puisque la différentielle est une approximation de la fonction dans un voisinage de ce point, alors elle ne peut-être injective.

Mais je n'arrive pas à comprendre pourquoi elle ne peut-être surjective .

Merci d'avance !

Posté par
LeHibou
re : Géométrie différentielle 11-02-20 à 10:59

Bonjour,

Est-ce que tu n'oublies pas une précision comme par exemple "en dimension finie" ?

Posté par
toureissa
re : Géométrie différentielle 11-02-20 à 11:30

Oui exactement c'est en dimension finie  ici.

Posté par
LeHibou
re : Géométrie différentielle 11-02-20 à 11:45

Ça me rappelle un certain théorème d'algèbre linéaire en dimension finie qui dit que, pour un endomorphisme f donné, les propositions suivantes sont équivalentes :
f injectif
f surjectif
det(f) 0
Ker(f) = {0}
Im(f) = E
...
Est-ce que ça pourrait s'utiliser localement ici ?

Posté par
toureissa
re : Géométrie différentielle 11-02-20 à 12:46

Oui. Et lorsque les deux espaces E et F n'ont pas la même dimension, ce théorème  est-il valable ?

Posté par
LeHibou
re : Géométrie différentielle 11-02-20 à 13:10

Non, il concerne uniquement les endomorphismes d'un unique espace.
Je ne sais pas s'il a une extension à des espaces distincts.

Posté par
toureissa
re : Géométrie différentielle 11-02-20 à 14:14

Ce qui me pose problème c'est lorsqu'on a des espaces de dimension s distincts.



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