Bonjour, je coince sur un énoncé pas très compliqué mais je n'arrive pas à démontrer une équivalence.

On a trois points A,B,C non alignés. P sur AC tq AP=AC/3. Q sur BC tq BQ=BC/3. On note P' le milieu de PC et Q' le milieu de QC.

Ce à quoi j'ai répondu:

1. Exprimer P'Q'(vecteur) en fonction de AB(vecteur). En déduire que P' =/= Q'.
=> Assez simple, on prouve rapidement qu'il y a un rapport d'un tiers. Comme A est différent de B, le vecteur AB est non nul, donc P' et Q' sont différents.

2. Soit M n'appartenant pas à (P'Q')
a) Mq (MP') et (AB) sont sécantes, on note l'intersection D. Mq (MQ') et (AB) sont sécantes, on note l'intersection E.
=> Là encore assez simple. Comme (P'Q') est parallèle à (AB) (on a prouvé la colinéarité des vecteurs), le seul moyen que (MP') ou (MQ') ne soient pa sécants avec (AB) serait que M appartienne à (P'Q4). Or par hypothèse c'est faux.

Là ou je coince:

b) Mq P'Q'DE est un parallélogramme <=> M appartient à (PQ)

Sur la figure, on voit bien que si M appartient à la droite, ça donne un parallélogramme. Par contre, je n'arrive pas à le prouver... En fait, je n'arrive pas à mettre ces deux éléments en relation. J'ai essayé les deux implications mais sans succès. On a comme outils les bases de l'algèbre linéaire, les trois équivalences définissant le parallélogrammes (les côtés deux à deux parallèles <=> les vecteurs deux à deux colinéaires <=> les milieux des diagonales coïncident).

Merci d'avance pour vos différentes pistes!