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Géométrie du plan

Posté par
Samsco 05-02-21 à 20:26

Bonsoir j'ai besoin de votre aide svp.

Exercice :

Soit (D) la droite d'équation 3x+y+3 =0 et A le point de (D) d'abscisse -1.
Déterminer une équation cartésienne du cercle par l'origine et tangent à la droite (D) en A.

Réponses :

Soit J le centre du cercle (C) de rayon r passant par l'origine et tangent à la droite (D) en Z .
A(-1 ; 1)

A et O appartiennent au cercle (C) donc JA=JO=r

JA=JO \iff \sqrt{(a+1)²+(1-b)²}=\sqrt{a²+b²} \\ \\ \iff (a+1)²-a²=b²-(1-b)² \\ \\ \iff 2a+1=(2b-1) \\ \\ \iff a-b=-1

Je n'ai pas réussi à trouver une deuxième relation avec a et b

Posté par
heklare : Géométrie du plan 05-02-21 à 20:32

Bonsoir

La tangente est perpendiculaire au rayon issu du point de tangence

Un point de D et produit scalaire

Posté par
heklare : Géométrie du plan 05-02-21 à 20:43

Un dessin

Géométrie du plan

Posté par
Samscore : Géométrie du plan 05-02-21 à 20:47

Choisissons le point D(1 ; -6) de la droite (D).

\vec{AD}(2 ; -7)

D \in (D) \iff \vec{AJ}.\vec{AD}=0 \\ \\ \iff (a+1)-7(b-1)=0 \\ \\ \iff a-7b=8

donc a=-5/2 , b=-3/2

J(-5/2 ; -3/2) , r=JO=√34/2

Une équation cartésienne de (C) est:
(x+5/2)²+(y+3/2)²=17/2

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Géométrie du plan 05-02-21 à 20:49

Bonsoir,
J'ai un doute sur les coordonnées du point A :
3(-1) + 1 + 3 0

Posté par
heklare : Géométrie du plan 05-02-21 à 20:54

On sait aussi que le centre du cercle est sur la médiatrice de [AO]

son abscisse est donc \dfrac{x_A+x_O}{2} ce qui est différent de -\dfrac{5}{2}

Posté par
Samscore : Géométrie du plan 05-02-21 à 21:15

L'équation de la droite (D) est plutôt : 3x+y+2=0

D(1 ; -5)

Citation :


\vec{AD}(2 ; -{\blue{6}})

D \in (D) \iff \vec{AJ}.\vec{AD}=0 \\ \\ \iff {\blue{2}}(a+1)-{\blue{6}}(b-1)=0 \\ \\ \iff {\blue{2}}a-{\blue{6}}b={\blue{-8}}

donc a=1/2 , b=3/2

J(1/2 ; 3/2) , r=JO=√(10)/2

Une équation du cercle (C) est :
(x-1/2)²+(y-3/2)²=5/2

Posté par
heklare : Géométrie du plan 05-02-21 à 21:20

Il y a encore une erreur  puisque l'abscisse de J est \dfrac{-1}{2}

Quelle est exactement l'équation de (D)  ?  « plutôt » n'engendre pas une certitude

Posté par
Samscore : Géométrie du plan 05-02-21 à 21:26

L'équation de (D) est : 3x+y+2=0

Posté par
heklare : Géométrie du plan 05-02-21 à 21:38

Dommage l'autre équation était plus simple

Équation de la perpendiculaire en A à (D) coordonnées du point d'abscisse -0,5 appartenant à cette droite

En fin de compte même pas besoin du produit scalaire  explicitement   implicitement oui pour écrire l'équation de la perpendiculaire

Posté par
mathafou Moderateurre : Géométrie du plan 05-02-21 à 21:58

Bonjour

"d'abscisse -0,5" est caduc avec la nouvelle équation de droite.

les derniers résultats de Samsco sont corrects

Géométrie du plan

mais comme il en manque des bouts qu'il faut aller chercher de droite et de gauche c'est peu compréhensible :

Citation :
{\blue{2}}a-{\blue{6}}b={\blue{-8}}

donc a=1/2 , b=3/2
sans revenir à son premier message disant que aussi \red a-b=-1 on peut se demander d'où sortent ces valeurs de a et b !

(et de toute façon il manque dès le départ :
Citation :
Soit J (a; b) le centre du cercle (C)
sinon calculer des a et b dont on ne sait pas ce qu'ils sont ne veut rien dire.

Posté par
heklare : Géométrie du plan 05-02-21 à 22:07

Pas tout à fait puisqu'il permet d'écrire l'équation de la médiatrice de [AO]

Posté par
mathafou Moderateurre : Géométrie du plan 05-02-21 à 22:19

mais A est désormais (-1; 1)
donc ce n'est pas vraiment

Citation :
Équation de la perpendiculaire en A à (D) coordonnées du point d'abscisse -0,5 appartenant à cette droite

le milieu de [OA], d'accord, mais pas présenté comme ça.

et la médiatrice de [OA] il l'avait déja implicitement dans son premier message :
Samsco @ 05-02-2021 à 20:26

...
JA=JO \iff \sqrt{(a+1)²+(1-b)²}=\sqrt{a²+b²} \\ \\ \iff (a+1)²-a²=b²-(1-b)² \\ \\ \iff 2a+1=(2b-1) \\ \\ \iff\red a-b=-1
alias b = a+1
qui était bon sauf l'erreur de frappe sur l'équation de (d) qui a mis tout le monde dedans.

Posté par
Samscore : Géométrie du plan 07-02-21 à 22:25

mathafou @ 05-02-2021 à 21:58

(et de toute façon il manque dès le départ :
Citation :
Soit J (a; b) le centre du cercle (C)
sinon calculer des a et b dont on ne sait pas ce qu'ils sont ne veut rien dire.


Samsco @ 05-02-2021 à 20:26

Soit J le centre du cercle (C) de rayon r passant par l'origine et tangent à la droite (D) en A .

Posté par
Samscore : Géométrie du plan 07-02-21 à 22:32

Citation :
Soit J(a ; b) le centre du cercle (C) de rayon r passant par l'origine et tangent à la droite (D) en A .


J'ai oublié de préciser que les coordonnées de J étaient (a ; b) , ça doit être par ce que j'étais beaucoup plus préoccupé par la suite.

Merci !

Posté par
heklare : Géométrie du plan 07-02-21 à 23:00

Pour déterminer les coordonnées de  J

vous avez écrit  que JA=JO

et pour la seconde équation vous avez écrit que J appartient à la perpendiculaire en A à (D)

Posté par
Samscore : Géométrie du plan 07-02-21 à 23:07

Citation :
J appartient à la perpendiculaire en A à (D)


Je ne retrouve pas le message dans lequel  je l'ai dit . Sinon , si je l'ai dis , c'est que j'ai dû me tromper.

Posté par
heklare : Géométrie du plan 07-02-21 à 23:23

C'est l'indication que je vous avais donnée pour déterminer l'autre relation avec a et b

Posté par
Samscore : Géométrie du plan 07-02-21 à 23:27

J'ai pas écris " J appartient à la ..." , j'ai utilisé le fait que le vecteur JA est orthogonal à tout vecteur directeur de (D).

Posté par
heklare : Géométrie du plan 07-02-21 à 23:34

Cela revient au même  

Vous avez donc déterminé a et b   puis l'équation du cercle

Posté par
Samscore : Géométrie du plan 07-02-21 à 23:41

Effectivement !

Posté par
heklare : Géométrie du plan 08-02-21 à 00:07

On a J \left(\dfrac{1}{2}~;~\dfrac{3}{2}\right)

équation du cercle \left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{2}


C'est donc bien ce que vous aviez trouvé

Remarque au lieu de prendre \vec{AD}  vous auriez pu prendre \dfrac{1}{2}\vec{AD}

Posté par
Samscore : Géométrie du plan 08-02-21 à 19:00

D'accord , ça ne change pas grand chose de toute façon , 2a-6b=-8 => a-3b=-4

Posté par
heklare : Géométrie du plan 08-02-21 à 19:06

Bien d'accord  peut-être des simplifications en moins à faire.

Question d'habitude aussi

Posté par
Samscore : Géométrie du plan 08-02-21 à 21:25

Oui

Merci et bonne soirée à vous .

Posté par
heklare : Géométrie du plan 08-02-21 à 21:33

Bonne soirée


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