bonjour,

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j'ai trouvé C=/3 ? mais ensuite je cherche

Oui mais

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il y a deux triangles solutions C = pi/3 ou C = ...

oui aussi.

Bonsoir,

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le cercle ABO  et le cercle de centre O  on en commun la corde AB  et ont le même rayon
= 2 OM (allez L'OM      ).La bissectrice de l'angle  B  perpendiculaire au milieu de MC ,
nous avons  BC=BM=AM

pas d'accord.

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"ont le même rayon" il faudrait encore le prouver !!
nécessite et utilise que I est sur (ABO), sinon non :

Bon week end,

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C'était dans l'énoncé sinon non....

à toi aussi
dans l'énoncé, que I est sur le cercle (ABO), oui
que les deux cercles seraient égaux ? pas du tout.
il faudrait donc le démontrer
à tous : la remarque est d'ailleurs valable aussi pour les autres affirmations...

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Citation :
La bissectrice de l'angle B perpendiculaire au milieu de à MC (bissectrice =hauteur) donc isocèle (donc aussi médiane et médiatrice donc en son milieu)
nous avons BC=BM (=AM),

ça, oui OK

Bonjour,

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Préliminaire : Pour tout triangle ABC, Soit P l'intersection de la bissectrice de l'angle A et du cercle circonscrit au triangle, le cercle de centre P et de rayon PB (ou PC) passe par le centre I du cercle inscrit. (démonstration classique)

Soit donc [AB], M son milieu, on sait construire les arcs capables de 30° sur AB en appelant O et P leurs centres. Le quadrilatère OAPB est un losange formé de deux triangles équilatéraux OAP et OBP
Si on prend C comme intersection de l'arc de centre O et du cercle de centre B et de rayon BM, alors le triangle ABC répond aux données du problème car le cercle de centre P et de rayon PA passe par I et O (I centre du cercle inscrit dans ABC)

tu ne te serais pas un peu mélangé les pinceaux ?

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il faut justifier l'angle de 30° et en plus ce serait plutot 60° (veleda le 04-05-18 à 16:39)

ta figure avec un angle de 30° pour les arcs capables :



les triangles OAP et OBP ne sont pas du tout équilatéraux , c'est OAB et PAB qui le sont
I n'est pas du tout sur le cercle de centre P (de toute façon même avec les bonnes valeurs il faudrait le prouver ou vice versa que si I est sur le cercle alors l'angle est etc)
et enfin tu as deux points P différents celui de ton préliminaire n'ayant aucun rapport avec celui construit.
de plus le préliminaire n'a pas de rapport direct avec le problème car le cercle qui contient I n'est pas celui passant par B et C mais par A et B
(pas le côté opposé au sommet de la bissectrice)

Bonjour, j'ai écrit :

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Citation :
on sait construire les arcs capables de 30° sur AB en appelant O et P leurs centres. Le quadrilatère OAPB est un losange formé de deux triangles équilatéraux OAP et OBP

Correctif :les arcs capables de 60° sur AB,
ce qui ne fait aucun doute quand on lit attentivement la suite : triangles équilatéraux OAP et OBP
Relever 60° au lieu de 30°, OK, mais inutile donc de me faire la honte d'une grande figure
qui ne correspond pas à mon raisonnement....(qui est correct me semble-t-il)
J'ai écrit 30° parce que j'avais utilisé une rotation de centre A et de 30° pour tracer le point O
puis j'ai pensé à écrire mon préliminaire, sachant que vous me reprocheriez de ne pas l'avoir cité

Bonjour mathafou
construction:

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CBS équilatéral de coté a
cercle de centre C de rayon 2a  coupe (BS) en A
médiatrice de [AC] , point M
médiatrice de [BC]
intersection==> centre  O ,  C1  cercle circonscrit au triangle ABC  
on obtient le point F intersection médiatrice de [BC] et cercle C1
C2   Cercle de centre F passant par O  
bissectrice de l'angle  CBA  coupe C2 en I
perpendiculaire à( AB) passant par  I coupe (AB) en J
C3  cercle de centre I et de rayon IJ

je ne sais comment  blanker l'image
_{justificatifs    après le repas ....}

vham : oh là ... je dis plutôt que ton raisonnement était peu compréhensible par un lecteur et donc avec une valeur fausse (de frappe) c'était pire : on comprenait tout de travers

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ok pour corriger les arcs capables

(sans avoir à faire le raisonnement à l'envers de partir de triangles équilatéraux cités plus loin pour remonter à une correction des valeurs des arcs en la prenant pour ce qu'elle est : une simple faute de frappe )

il n'empêche que je ne comprends pas le préambule qui me semble déformer l'énoncé par rapport à ce qu'on cherche à prouver.

plus compréhensible serait de dire que la bissectrice de l 'angle C coupe le cercle circonscrit de (ABC) en un point P avec le cercle de centre P et passant par A ou B qui contient I (propriété connue, mais appliquée au vrais points de la figure)



et comme on veut que le cercle (ABI) de centre P sur (ABC) passe par O (dire que le cercle (ABO) passe par I ou que (ABI) passe par O c'est pareil)
et par conséquent les triangles équilatéraux et par conséquent l'angle de 60°

en raisonnant dans ce sens là c'est ok, et on a prouvé la valeur de l'angle au lieu de la parachuter au départ.

OK c'est passé et c'est la bonne image.. je poursuis

PLSVU ; pas vérifié les détails de ta construction
en tout cas pour mettre une image dans un blank c'est exactement comme pour mettre une image n'importe où dans le texte du message

balise [ img1] générée en cliquant sur la vignette de l'image alors que le curseur de saisie est là où on veut insérer l'image.
(et pas ne rien faire en laissant le site mettre l'image à sa guise à la fin du message)

que ce soit à l'intérieur de balise blank ou pas.
et même si l'image est suffisamment petite carrément "dans les lignes" de texte

comme par exemple cette image d'un bouton de geogebra

même remarque après une dizaine de relance de l'Aperçu j'ai abandonné.
(le bug du site qui met les mauvaises images = celle du message précédent dans l'aperçu empêchant de voir la bonne, mais c'est en principe bon quad on fait poster)

PLSVU : ta construction telle qu'elle est écrite ici ne semble pas marcher du tout
ou alors j 'y ai tout compris de travers...

Bonjour,

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Je reprends votre figure du 05-05-18 à 13:27 construite de la façon suivante :
les points A, B et M étant donnés, on prend C sur le cercle () de centre B et rayon BM,
On en déduit le cercle de centre O circonscrit au triangle ABC, on trace la médiatrice de [AB],
qui intersecte ce cercle en P qui est aussi le point d'intersection de la bissectrice de l'angle ACB et du cercle,
On sait que "le cercle () de centre P et de rayon PA=PB passe par I centre du cercle inscrit dan le triangle ABC".
Si on veut que O soit aussi sur le cercle () comment positionne-t-on C sur le cercle () de centre B et rayon BM  puisque je vous cite :

Citation :
et par conséquent les triangles équilatéraux et par conséquent l'angle de 60°

Quelle Démonstration pour cette citation ?

Suite

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Si j'ai bien compris :
Soit le cercle circonscrit au triangle ABC  et de centre O
Par définition OA=OB=OC
Soit le cercle circonscrit au triangle ABO et de centre P
Par définition  PB=PO=PA
Or PO est la médiatrice passant par M milieu de la corde AB
Donc  PB=PO=PA=OA=OB=OC =R
APBO est un losange "équilatéral"
ses  angle obtus sont  égaux à 120 ° donc l'angle au centre AOB  tendant
la corde AB  permet de dire que l'angle ACB tendant la même corde
est égal à 120/2 =60 °
MB=BC= R3/2 =2R sin BOC/2 =2RsinA
-->sin A = 3/4   L'angle A mesure 26 .65 °
L'angle B mesure donc 180-60-26.65 =94.35 °

  Bonjour,

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       [img1]   j'avais  mis le point  B à la place   du point  C...
  

???
il semble que ni l'un ni l'autre ne comprenne le raisonnement de l'autre !!

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je reprend dans le bon sens et sans parachuter des angles tirés en apparence d'un chapeau et d'une démonstration en marche arrière (= en supposant l'angle on en déduis après coup que oui ça marche avec cet angle la donc cela justifie l'angle dont on est parti sans dire pourquoi)

lemme :
dans tout triangle ABC la bissectrice issue de C, la médiatrice de AB et le cercle circonscrit sont concourantes en un point P
qui est le centre d'un cercle passant par A, B, et I (centre du cercle inscrit)
(et d'ailleurs de diamètre IJ, J étant le centre du cercle exinscrit dans l'angle C, mais ça ne nous concerne pas ici

on ne connait rien du tout d'aucun angle au départ dans cette figure.

on veut maintenant ici que en plus A, B, O et I soient cocycliques
donc que ce cercle de centre P du cas général passe par le centre du cercle circonscrit

on a donc par conséquent une figure (en faisant abstraction de tout le reste qui ne sert plus à rien) avec deux cercles dont chacun a son centre sur l'autre cercle.



c'est à partir de ça qu'on en déduit que OP = OB= OA = PB = PA (= le rayon de ces cercles)
donc les triangles OPB et OAP sont équilatéraux et donc les angles et donc AOB = 120°
comme c'est l'angle au centre de l'angle inscrit ACB du triangle cherché
on en déduit que le sommet C cherché est sur l'arc capable de l'angle de 60° pour la corde AB

(et seulement maintenant on a ces valeurs d'angles)

tous ces détails bien entendu pour uniquement mieux expliquer en détail mon raisonnement puisque tu sembles ne pas avoir compris dans quel sens je raisonne
et vu que je ne comprends pas le tien qui pose à priori l'angle et en déduit etc

PLSVU
je ne sais pas ce que tu as bricolé avec ton img1 mais il n'y a pas de figure du tout

je dois vraiment mal m'expliquer si on ne comprends ni mes raisonnements ni mes "mode d'emploi"
ou alors mes histoires de curseur sont pour moi tellement évidentes (informatique générale) que je n'ai pas imaginé un seul instant que tu pourrais l'avoir compris de travers.

> Plsvu a du oublier tout simplement de charger son image comme d'habitude, toute concentrée qu'elle était de mettre son [img1] au bon endroit !
Perso je n'ai aucun souci, ni de lenteur ni rien dans les "aperçus"

  Bonsoir ,

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Non , tu expliques très bien . j' ai fini par comprendre ...( il me faut du temps)
J'ai recommencé   la construction du triangle  ABC  avec  les points bien placés .
  balise   il me reste l'essentiel justifier!!! .
  

Bonjour malou ,

J'ai eu ce problème , en plus , je n'arrivais pas à mettre la bonne image  car la précédente avec les points B et C mal placés s'affichée à la place de la nouvelle , j'ai du effacer mon historique et redémarrer...

oui, faut vider le cache de ton navigateur quand c'est ainsi, soit en faisant ctrl+F5, soit en allant dans tes préférences de ton navigateur et de lui dire de vider le cache

parfois c'est l'ancienne image qui paraît à l'écran, demander alors à un modérateur d'aller voir, car souvent, nous quand on ouvre l'image, c'est l'autre qui apparaît par miracle ! elle est là en réalité....

lenteurs :
c'est général pour toute la navigation chez moi
ce n'est pas un problème de vitesse de transfert c'est un problème de temps de réponse général à une requête
qui se multiplie avec le nombre de requêtes dans la page
on ne va pas épiloguer là dessus

mettre son [ img1]
??? on ne tape jamais de balises !! sauf vraiment pour bidouiller "à ses risques et périls"
elles viennent toutes seules quand on clique au bon endroit (boutons etc)
et en l'occurrence pour img1 quand on clique sur l'aperçu de l'image
sans avoir chargé l'image je me demande comment on peut cliquer sur son aperçu !!
...

car la précédente s'affichée à la place
ça c'est un des problèmes résiduels anciens de l'ile jamais résolu dû au fait que l'image "temporaire" utilisée à ce stade (avant de poster) porte toujours le même nom et donc le navigateur reprend l'ancienne de son cache au lieu de celle qui est sur le serveur
il suffi de rafraichir la page d'aperçu dans le navigateur (il râle en disant qu'il doit renvoyer des paramètres, accepter)
ça ne touche en fait que l'aperçu, la vraie image envoyée est en principe la bonne (celle dont on voit la "vignette" dans la page de saisie sous la zone de saisie)
sauf rarement comme le dit malou


Nouvelle construction :

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on obtient le point F intersection médiatrice de [BC] et cercle C1
j'avais mis le point B à la place du point C...

hum ...
dis plutôt que c'est
on obtient le point F intersection médiatrice de [AB] et cercle C1

Resuite

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A quel moment j'ai inventé.....?
En partant de l'énoncé j'arrive à un triangle  ABC  qui a comme angles:
A=25.65°  B= 94.35 ° et C=60°
avec AB = 2 BC   les cercles de centre O et P   ont pour rayon
(AB3)/3.
Tout triangle construit avec ces données correspond à l'énoncé.

dpi

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en tout cas avec uniquement ce que tu disais le 05-05-18 à 15:52 si c'est à ça que tu fais référence avec "A quel moment j'ai inventé.....?"

Soit le cercle circonscrit au triangle ABC et de centre O
Par définition OA=OB=OC oui
Soit le cercle circonscrit au triangle ABO et de centre P
Par définition PB=PO=PA oui
Or PO est la médiatrice passant par M milieu de la corde AB oui
Donc PB=PO=PA=OA=OB=OC =R ah bon ??? pourquoi ça
à ce stade on ne sait absolument pas ni que ces cercles seraient égaux ni aucun angle.

et tu as uniquement ça à ce stade :

OK

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je verrai demain en partant de IM=IC et BM=BC

Bonjour mathafou ,

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l'angle inscrit BCA intercepte l'arc BA  donc vaut la moitié de l'angle au centre BOA qui est égal  à 2AOB  puisque   les triangles AOF et FOB sont isocèles en O ,AO=OF=OB=R  , de plus AF=AB puisque  (FM) médiatrice de [AB]
d'où les triangles AOF et FOB sont superposables .les angles AOB=BOF,
l'hexagone CBFAB'F'  est régulier si l'angle BCA vaut π/3
et l'angle FOB=π-2π/3=π/3



reste à démontrer que le point I appartient au cercle de centre F et de rayon R...

bonjour PLSVU

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tu pars de l'hypothèse que l'angle C = 60° et que les deux cercles ont même rayon (c'est équivalent)
pour (espérer vu que ce n'est pas terminé) en déduire que I est bien sur le cercle (F)

ça marche mais l'énoncé est tout de même en sens inverse, et c'est tout de même plus "propre" de ne pas partir d'une hypothèse parachutée et vérifier ensuite que ça marche mais de partir de l'énoncé tel qu'il est !
on devrait partir de l'hypothèse que les points A,B, O, I sont cocycliques sur un cercle qu'on ne connait pas à priori autrement que par les points A,B,O (de l'énoncé tel qu'il est)
pour en déduire que par conséquent l'angle est de 60° et les cercles égaux.

les deux démarches se valent, mais j'ai une nette préférence pour celle qui part de l'énoncé sans parachuter des propriétés "devinées"

Pour finir....,

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Le point I est à la fois sur la médiatrice de MC  (  ce qui donne MB=MC=AM ) et aussi sur
la bissectrice de BAC  qui coupe le cercle de centre O en P , en donnant de cordes égales
PA et  PB   ce qui fait aussi de P le centre du cercle de rayon PO .Notre losange APBO est donc "équilatéral" .Le calcul des angles est fait dans mon post du 5/5 à 15h52

dpi

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et aussi sur la bissectrice de BAC BCA qui coupe le cercle de centre O en P , en donnant des cordes égales PA et PB

oui (et P est donc aussi sur la médiatrice de AB)

ce qui fait aussi de P le centre du cercle de rayon PO .
n'importe quel point P est le centre d'un cercle de rayon PO !!
ça ne prouve pas qu'il passe par I (ni même par A et B en fait) et donc que c'est "notre" cercle cherché

ce raisonnement étant donc incomplet, toute la suite s'écroule

PS dpi illustration

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pour l'instant ta démonstration en est là



tu as d'une part un cercle (de centre P) qui passe par A, B (et I)
d'autre part un cercle "de centre P et de rayon OP" qui lui n'a aucune raison d'être le même.

on veut que ce soit le même
il ne manque vraiment pas grand chose à ta démonstration pour la rendre correcte, mais tout de même il en manque un bout.
qui commence par ce "on veut que", ou "d'après l'énoncé ces deux cercles sont le même cercle",
et bien entendu la preuve (classique) ou ne serait-ce que son énoncé explicite que le cercle de centre P passant par A et B passe par I (ou autres formulations équivalentes de ce truc classique)

Ok

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En  fait mon erreur depuis le début est de croire que notre bissectrice de BCA  coupe le
cercle de centre O en A et B alors qu'elle le coupe en A' et B' et il reste à démontrer que A=A' et B=B'.

dpi :

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euh .. fautes de frappes sans doute ou petit mélange dans ce que tu voulais dire
la bissectrice de BCA ne risque pas de passer par A et B

J'ai anticipé d'une phrase.....