Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau maths sup
Partager :

géométrie élémentaire du plan

Posté par Cheshire_Cat (invité) 17-10-04 à 14:54

1) Pour tout a réel on considère les droites:
Da d'équation (a²-3a+3) x + 2 (a-2) y - 4 (a-1)² = 0
a d'équation a²x + 2 (2a-3) y = 2 (3 a² - 2a + 3)

Montrer que les droites Da passent par un point fixe A et que les droites a passent par un point fixe B.

Posté par
dad97 Correcteur
re : géométrie élémentaire du plan 17-10-04 à 20:06

Bonjour Cheshire_Cat,

Si Da admet un point fixe de coordonnées (x,y) alors :
y=x
(a²-3a+3) x + 2 (a-2) y - 4 (a-1)² = 0

soit :
y=x
(a²-3a+3) x + 2 (a-2) x - 4 (a-1)² = 0

soit :
y=x
(a²-a-1)x=4(a-1)²

1er cas : a²-a-1=0
alors 4(a-1)²=0 mais il n'y a aucune valeur de a qui vérifient à la fois :
a²-a-1=0
4(a-1)²=0
si bien que ce cas n'arrivent pour aucune droite Da.

2ème cas : a²-a-1 non nul
alors :
(\frac{4(a-1)^2}{a^2-a-1};\frac{4(a-1)^2}{a^2-a-1}) sont les coordonnées du seul point fixe de Da.

Bilan toutes droites Da admet un unique point fixe de coordonnées : (\frac{4(a-1)^2}{a^2-a-1};\frac{4(a-1)^2}{a^2-a-1})

Pour \Delta_a:
bien pareil :
y=x
a²x + 2 (2a-3) y = 2 (3 a² - 2a + 3)

soit :
y=x
a²x + 2 (2a-3) x = 2 (3 a² - 2a + 3)

soit :
y=x
(a²+4a-6)x=2(3a²-2a+3)

1er cas : a²+4a-6=0
alors 3a²-2a+3=0 mais il n'y a aucune valeur de a qui vérifient à la fois :
a²+4a-6=0
3a²-2a+3=0
si bien que ce cas n'arrivent pour aucune droite \Delta_a.

2ème cas : a²+4a-6 non nul
alors (\frac{2(3a^2-2a+3)}{a^2+4a-6};\frac{2(3a^2-2a+3)}{a^2+4a-6})sont les coordonnées du seul point fixe de \Delta_a.

Bilan toutes droites \Delta_a admet un unique point fixe de coordonnées : (\frac{2(3a^2-2a+3)}{a^2+4a-6};\frac{2(3a^2-2a+3)}{a^2+4a-6})

Salut


Posté par Joel (invité)re: geometrie elementaire du plan 19-10-04 à 07:57

bonjour,
un point est dit fixe pour une famille de droites s'il est commun à toutes ces droites.
Pour l'exercice de Cheshire_Cat,on doit d'abord vérifier que l'expression donnée Da est une équation de droites c'est à dire que les coefficients de x et de y ne peuvent être nuls simultanément.
Si ces droites ont un point commun (x0,y0)alors l'égalité
(a²-3a+3)x0+2(a-2)y0-4(a-1)²=0 est vraie pour au moins 3 valeurs de a (on dit aussi pour une infinité de valeurs de a).
on peut alors l'interpreter comme une équation d'inconnue a ayant au moins 3 solutions comme elle est du 2° degré alors ses coefficients sont nuls
on réecrit l'expression comme une équation du 2° degré en a
(x0-4)a²+(-3x0+2y0+8)a+(3x0-4y0-4)=0
on recherche s'il existe x0,y0 vérifiant le système
(x0-4=0 , -3x0+2y0+8=0 , 3x0-4y0-4=0)
on oublie pas de vérifier que pour ces valeurs l'expression Da est vraie.
une autre vérification au brouillon consiste à choisir 3 valeurs de a et tracer ces 3 droites dans un repère
bon courage

Posté par
watik
re : géométrie élémentaire du plan 19-10-04 à 15:35

bonjour voici un complément utile.

Le début de la réponse de Monsieur Joel est bien le reste est coorecte mais compliqué.

voici une méthode plus simple.

Vous écrivez l'équation de la droit Da :
(a²-3a+3) x + 2 (a-2) y - 4 (a-1)² = 0

de cette façon en polynome de second de gré en a:

a²(x-4)+a(-3x+2y+8)+3x-4y-4=0

si (x,y) appartient à toutes les droites Da le polynome de second degré en a s'annule pour un infinité de valeur de a. C'est donc le polynome nul.

donc ces coefficients sont aussi tous nuls:

x-4=0
et
-3x+2y+8=0
et
3x-4y-4=0

donc x=4 et y=2

le point (4,2) est le point fixe.

faites de même pour l'autre droite.

bon courage



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1478 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !